专题08：不等式-备战2021年高考数学（理）三轮复习查缺补漏特色专题

专题8：不等式知识点和精选提升题（解析版） 不等式的基本知识点： （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质： (1)对称性： 　　　　　　　(2)传递性： (3)加法法则： ； (同向可加) (4)乘法法则： ；　　　　 (同向同正可乘) 倒数法则： 　 (6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 的解集： 设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点( )，把它的坐标（ )代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式 1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么 变形： 有:a+b≥ ；ab≤ ,当且仅当a=b时取等号. 3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值 ; 如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值 . 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。 一、单选题 1．若 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用不等式的性质，对ABCD一一验证. 【详解】 取 ，代入验证A,有 ，错误，故A不正确； 代入验证D,有 ，错误，故D不正确； 取 ，代入验证C,有 ，错误，故C不正确； 对于B： 成立，故B正确. 故选：B 【点睛】 利用不等式的性质，判断不等式是否成立的问题： 对于不成立的情况，只用举一个反例就可以；对于成立的情况，需要利用不等式的性质进行证明. 2．若 ､ ､ 且 ，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答