专题02：复数-备战2021年高考数学（理）三轮复习查缺补漏特色专题

专题2：复数知识点和精选提升题（解析版） 复数知识点： 复数的定义：设 为方程 的根， 称为虚数单位，形如 的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用 来表示. a为实部，b为虚部 2．复数集 复数的几何意义 对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。 两个复数相等的定义： 且 （其中 ）特别地， . 复数的四则运算 设 ， （1）加法： ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加； （2）减法： ，即实部与实部相减，虚部与虚部相减； 6 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为 的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】 若z=a+bi，则 的共轭复数记作 ； 为实数， 为纯虚数(b≠0). 共轭复数的性质：⑴ ;⑵ ；⑶ ;⑷ ; （5） ；（6）若 ，则 . 7 复数的摸 若向量 表示复数 ，则称 的模 为复数 的模， 一、单选题 1．设复数 ，则 的的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用复数乘方运算和除法运算化简复数 ，再根据复数的概念可得结果. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , 所以 的的虚部是 . 故选：A 2． 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 给分子分母同乘以 ，将原式化简为 的形式，然后得到虚部. 【详解】 由题意得， ，故其虚部为 . 故选：D. 3．若复数 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（ ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】 利用复数除法运算化简 ，根据 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限列不等式组，解不等式组求得 的取值范围，由此确定正确选项. 【详解】 依题意 ， 由于 在复平面内对应的点在第二象限， 所以 ，解得 ， 故 的值可以是-2. 故选：D 4．已知复数z与 均是纯虚数，则z的虚部为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】 利用复数的乘方运算以及复数的概念即可求解. 【详解】 设 （ ，且 ）， 则 ； 若 是纯虚数，则 ，解得 . 故选：A 5．已知 ， ，复数 ， ( 为虚数单位)，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 利用复数相等，求 的值. 【详解】 由 ，得 ，所以 ， ，所以 . 故选：C. 6．设 （ 是虚数单位）， 是 的共轭复数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先求得 ，然后求得 ，进而求得 . 【详解】 因为 ，所以 ，所以 . 故选：B 7．已知复数z满足 ，则复数z的模为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】 由复数除法运算化简，再结合复数模公式求解即可. 【详解】 由 得 所以 故选：B 8．复数 满足 ，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先求得 ，然后求得 . 【详解】 ， 所以 . 故选：B 9．已知复数 满足 ， 是虚数单位，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由复数的乘法运算得出答案. 【详解】 故选：B 10．复数z满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】 先计算复数 ，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】 由 得： ， ∴ ， ． 所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限， 故选：D． 11．若复数 满足 (其中 为虚数单位)则复数 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先由已知条件利用复数的除法运算求出复数 ，再求其虚部即可. 【详解】 由 可得 ， 所以复数 的虚部为 ， 故选：A 12．若复数z满足 ，则z的虚部是（ ） A． B． C．1 D．6 【答案】D 【分析】 由复数的运算求出 ，进而得出虚部. 【详解