专题5极坐标与参数方程知识点与20道针对大题（基础题）-2021年高考数学极坐标与参数方程中必考知识专练

专题5极坐标与参数方程知识点与20道针对大题（基础题）（解析版） 一、极坐标系 在平面上取一个定点 ，由点 出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点 称为极点， 称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段 的长度 和从 到 的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对 称为点M的极坐标. 称为极径， 称为极角. SHAPE \* MERGEFORMAT 二、极坐标与直角坐标的互化 设 为平面上的一点，其直角坐标为 ，极坐标为 ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: 或 （对 也成立）. 三、极坐标的几何意义 ——表示以 为圆心， 为半径的圆； ——表示过原点(极点)倾斜角为 的直线， 为射线； 表示以 为圆心过 点的圆. (可化直角坐标: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 ，其中 为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: ,即 . 记上式的比值为 ,整理后得 , 也成立，故直线的参数方程为 ( 为参数， 为倾斜角，直线上定点 ，动点 ， 为 的数量，向上向右为正(如图16-33所示). SHAPE \* MERGEFORMAT 五、圆的参数方程 若圆心为点 ，半径为 ，则圆的参数方程为 . 六、椭圆的参数方程 椭圆 的参数方程为 （ 为参数， ）. 七、双曲线的参数方程 双曲线 的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 . 八、抛物线的参数方程 抛物线 的参数方程为 （ 为参数，参数 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 1．过极点 作圆 的弦 ，求 的中点 的轨迹方程. 【答案】 【解析】 【分析】 先证明 ，所以 在以 为直径的圆上，即得M的轨迹方程. 【详解】 解：由题得圆C的直角坐标方程为 ， 所以圆心坐标为（4,0），半径为4. 如图所示， 圆心 ，半径 ，连接 ， ∵ 为弦 的中点， ∴ ， ∴ 在以 为直径的圆上. 故动点 的轨迹方程是 . 【点睛】 本题主要考查动点的轨迹方程，考查极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．若函数 的图象在伸缩变换 的作用下得到曲线的方程为 . （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 取得最值时 的取值范围. 【答案】（1） （2）见解析. 【分析】 (1)将变换 代入 .化简得到 .利用周期公式即得. (2)利用正弦函数图像和性质解得. 【详解】 （1）解：由题意，把变换公式代入曲线 得 ，整理得 ，故 . 所以函数 的最小正周期为 . （2）当 即 时函数 取得最大值 函数 取得最大值时的取值范围是 ， 当 即 时函数 取得最小值 函数 取得最小值时的取值范围是 . 【点睛】 本题考查了伸缩变化公式的应用,三角函数的周期公式,正弦函数的图像与性质,基础题. 3．在平面直角坐标 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为常数）．以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 与曲线 相交于 两点，若 ，求 的值． 【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）直线 的参数方程为 （ 为参数， 为常数），消去参数 得 的普通方程，而曲线 的极坐标方程可化为 ，利用 可得 的直角方程． （Ⅱ）利用直线参数方程中参数的几何意义可得． 【详解】 （Ⅰ）∵直线 的参数方程为 （ 为参数， 为常数）， 消去参数 得 的普通方程为： 即 ． ∵ ，∴ 即 ，即 ． 故曲线 的直角坐标方程为 ． （Ⅱ）法一：将直线 的参数方程代入曲线中得 ， ∴ ． 法二：将 代入曲线 化简得： , ∴ ． 【点睛】 直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中 为参数），注意 表示直线上的点 到 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等． 4．将椭圆 上每一点的横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线 . （1）写出曲线 的方程； （2）设直线 与 的交点为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用变换前后对应点的坐标关系可得曲线 的方程． （2）先计算 的坐标，求出它们的中点后可得所求直线的直角坐标方