专题06 平面向量-备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷集合

专题06 平面向量 【知识点一基础内容 1．向量的概念与向量的模 （1）向量概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．海拔、温度、角度都是数量，不是向量。向量可以平移，与位置无关。 （2）向量的几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向线段的长度为模，表示为、． （3）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作． （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向是任意的． （5）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）． （6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性． （7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则∥∥。任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．平行向量没有传递性。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。 （8）相反向量：与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量，记作 - ． 2．向量的加法运算 （1）三角形法则： 特征：首尾相接的几个向量相加，等于从首向量的起点指向末向量的终点的向量。 （2）平行四边形法则：ABCD为平行四边形，则 特征：同起点的两个向量相加，等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量（起点不变） （3）向量的加法性质 ① ；（）； ② ； ③（）（）． ④ ≤ + 4．向量的减法运算 法则： 特征；同起点的两个向量相减，等于由减向量终点指向被减向量终点的向量. (一个向量等于由第三点指向终点的向量减去由第三点指向起点的向量) 5．向量数乘和线性运算 （1）向量的数乘：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为＝ ，其方向与λ的正负有关．若≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．当λ＝0时，λ与平行． 对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔λ. （2）向量数乘运算法则 ① 1；（﹣1）； ②（λμ）λ（μ）μ（λ）； ③（λ+μ）λμ； ④ λ（）＝λλ． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量，注意 。 一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示． （3） 向量 ()与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使λ. （4） A、B、C三点共线 ⇔ ∥ ⇔. 6．平面向量数量积 （1）向量的夹角：对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π． （2）向量的数量积：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把osθ叫做与的数量积，记做 即：cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•0． 注意： ① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定； ②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替； ③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π． （3）平面向量数量积的重要性质： 设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则： ①cosθ； ② ⇔ 0；（判定两向量垂直的充要条件） ③ 当，方向相同时，；当，方向相反时，； 特别地：或（用于计算向量的模） ④ cosθ（θ为锐角 ⇔ 0且； θ为钝角 ⇔ < 0且） ⑤ ≤ （4）平面向量数量积的运算律 ①交换律：； ②数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）； ③分配律：（）••+ （5） 平面向量数量积的运算性质 ①（ ± ）2± 2•． ②（）•（）． ③ •（•）≠（•）•， （6） 投影：在上的投影是一个数量cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0 （7） 投影向量：在上的投影向量等于cosθ （其中为与同向的单位向量） 7． 平面向量基本定理 如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 8．平面向量的坐标运算 （1）平面向量的坐标表示：（x，y）表示以原点为起点，以（x，y）为终点的向量． （2）平面向量的坐标运算： ①若A（x1，y1），（x2，y2），则=（x2﹣x1，y2﹣y1） ②若（x，y）则 ，==，λ（λx，λy） ③若（x1，y1），（x2，y2），则：