第2讲二次函数（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册培优课程训练（学生版+教师版）

二次函数 1、 基础知识 1. 二次函数的对称轴、顶点、单调性、值域 2. 二次函数的解析式的三种表达形式 3. 二次函数的区间最值 4. 二次函数的零点分布 2、 典型问题 1.在上的最大值为1，求实数的值. 2.已知，函数. （1） 如果的最大值为，最小值为，且，求证：，且 （2） 如果如果的最大值为，最小值为，求的值. 3.设为实数，函数 （1） 讨论的奇偶性； (2)求的最小值。 三、跟踪训练 1.方程有两个不相等的实根，则常数的取值范围是________ 2.二次函数对任意实数都有，且在上是增函数，则实数的取值范围是__________ 3.若函数在区间上的最小值为，最大值为，求. 4.设为实数，函数. (1) 若，求的取值范围； (2) 求的最小值； (3) 设函数，直接写出（不需要给出步骤）不等式的解集. $二次函数 1、 基础知识 1. 二次函数的对称轴、顶点、单调性、值域 2. 二次函数的解析式的三种表达形式 3. 二次函数的区间最值 4. 二次函数的零点分布 2、 典型问题 1.在上的最大值为1，求实数的值. 解： 时，在上不能取得1，故此。 的对称轴为。 （1）令，解得，此时。 因为，最大，所以不符合； （2）令，解得，此时。 因为，且距有段点2较远，所以最大，符合要求。 （3）令，得，验证后知只有才符合要求。 综上所述，或者。 2.已知，函数. （1） 如果的最大值为，最小值为，且，求证：，且 （2） 如果的最大值为，最小值为，求的值. 解：（1） 又，而 最大值与最小在或处不会同时取得。 当时，有一个极值点。 ，则。 又 （2） 而 所以 3.设为实数，函数 （1） 讨论的奇偶性； (2)求的最小值。 解：（1）当时，，易知，且 所以是偶函数。 当时，，易知且 所以是非奇非偶函数。 （2）当时， 当时，； 当时，不存在最小值。 当时，。 当时， 当时， 综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为。 三、跟踪训练 1.方程有两个不相等的实根，则常数的取值范围是________ 解：，且函数在对称轴处，即时，方程也有两个不同的实根，所以p的范围为或。 2.二次函数对任意实数都有，且在上是增函数，则实数的取值范围是__________ 解：因为对任意实数都有，所以的图像关于对称，又因的对称轴为，所以，得出。 整理得出，这个函数的对称轴为，且开口向下。 要保证在上是增函数知要保证，代入，解得。 3.若函数在区间上的最小值为，最大值为，求. 解：（1）若，则的最大值为，最小值为，即是方程的两个根，因此方程有两根异号，故不可能。 （2）若，当时，取最大值，故，解得。 当或时，取最小值。 ①时，，但，故，此时，从而是最小值。 ②，显然与矛盾，故舍去。 （3），此时，最大值为，最小值为， 所以，两式相减得，解得。 综上，符合条件的有或。 4.设为实数，函数. (1) 若，求的取值范围； (2) 求的最小值； (3) 设函数，直接写出（不需要给出步骤）不等式的解集. 解：（1）若，则 （2）当时，， 当时，， 综上所述， （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 $