第1讲简易逻辑-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册培优课程训练（学生版+教师版）

简易逻辑 一、基础知识回顾 1. 四种命题 2. 复合命题（补充） 3. 量词 4. 充要条件 二、典型例题 例1 已知是整数，，求为整数的充要条件。 例2 求证：质数有无穷多个。 例3 已知函数 （1）当时，若，都有，求证： （2）当时，求证：的充要条件是 （3）当时，试研究的充要条件。 三、跟踪训练 1.设和有且仅有一个为真，求实数的取值范围。 2.已知，若同时满足条件： ①或； ② 求实数的取值范围； 3.设二次函数中的均为整数，且均为奇数，求证：方程无整数根。 4.设，试证明对任意实数； （1） 方程总有相同的实根；（2）存在，恒有。 $简易逻辑 一、基础知识回顾 1. 四种命题 2. 复合命题（补充） 3. 量词 4. 充要条件 二、典型例题 例1 已知是整数，，求为整数的充要条件。 解：首先寻找必要条件。 对任何整数，是整数 是整数，是整数 是整数。 又是整数 是整数 下面证明，当是整数时，对于任何整数，是整数 均为整数 为整数 例2 求证：质数有无穷多个。 证明：如果质数的个数是有限的，那么我们可以将全体质数列出来，设为： 令，且总是有质因数。下面证明都除不尽。 假设能除尽，能除尽 能除尽，即能除尽1，这是不可能的。 任何一个质数都不能除尽，这说明有不同于的质因数，这与只有有限个质数相矛盾，所以质数有无穷多个。 例3 已知函数 （1）当时，若，都有，求证： （2）当时，求证：的充要条件是 （3）当时，试研究的充要条件。 解：（1），都有， （2）必要性：， 依此可以推出，即， 对任意， ，可以推出 充分性：，对任意，可以推出 即 ，对任意，可以推出，即 综上可知，当时，对任意，的充要条件是 （3）当时，对任意， 即。 由，即，即 当时，的充要条件是 三、跟踪训练 1.设和有且仅有一个为真，求实数的取值范围。 解：由 真：；假： 真： 假：或 当； 综上可知，的取值范围为或。 2.已知，若同时满足条件： ①或； ② 求实数的取值范围； 解：，当时， 又或者 在时恒成立。所以二次函数图像开口只能向下，且与轴交点都在（1,0）的左侧， 即，解得； 又，且 ，使成立。 由于，所以使成立 故满足或 解第一个不等式组得；第二个不等式组无解。 综上可得的取值范围为：（-4，-2） 3.设二次函数中的均为整数，且均为奇数，求证：方程无整数根。 证明：假设方程有一个整数根，则。 均为奇数 必为偶数， 当为偶数时，令， 则必为偶数， 则必为奇数与矛盾 原命题成立。 当为奇数时，令， 则，是一奇数与一偶数的乘积，必为偶数。 则必为奇数也与矛盾， 假设不成立，因此无整数根 4.设，试证明对任意实数； （1） 方程总有相同的实根；（2）存在，恒有。 解：（1） 可知当时无论取何值时总有相同实根 （2），因为存在，恒有 根据上式可知，当，时满足条件， 则 所以当时，。 $