专题1.8 计数原理与古典概率 - 2021届高三数学三轮复习专题突破（浙江专用）

专题1.8 计数原理与古典概率 一、排列组合 1. 排列组合的定义： (1)排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作. (3)组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (4)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作. 【说明】　排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”． 2．活用排列数与组合数的公式及性质 公式 排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝ 组合数公式 C＝ ＝ ＝ 性质 (1)A＝n！； (2)0！＝1 (1)C＝1； (2)C＝； (3)C＋C＝C 备注 n，m∈N*，且m≤n 3．破解排列、组合问题的十种方法与技巧 (1)特殊元素优先安排； (2)合理分类与准确分步； (3)排列、组合混合问题先选后排； (4)相邻问题捆绑处理； (5)不相邻问题插空处理； (6)定序问题排除法处理； (7)分排问题直排处理； (8)“小集团”排列问题先整体后局部； (9)构造模型；(10)正难则反，等价条件． 二、熟记二项式定理及通项 1.二项式定理： (1)定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理． (2)通项 Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项． [说明]　①Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒； ③通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 2．活用二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C. (2)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数是递增的；当k≥时，二项式系数是递减的． 当n是偶数时，中间一项取得最大值． 当n是奇数时，中间两项Cn和Cn相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.[来源:Z+xx+k.Com] 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 三．古典概型 1.计算三注意： （1）本试验是否是等可能的； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件A是什么，它包含的基本事件有多少个． 2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便． 四. 随机变量及随机变量的分布列、均值、方差 1.随机变量的有关概念,如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；若变量的所有值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)概念,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2,3，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表, X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列. (2)性质,①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1. 3. 求离散型随机变量均值、方差的步骤： (1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值； (2)求的每个值的概率； (3)写出的分布列； (4)由公式求出、方差． 4.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布, X 0 1 P 1－p p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率. *(2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*., X 0 1 … m P … 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布. 5．相互独立事件与n次独立重复试验 (1)若A1，A2，…，An是相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P