5.2.1 等差数列（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

5.2.1 等差数列 知识点归纳 知识点一、等差数列的定义 1．等差数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 2．等差数列的递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．等差数列的通项公式：如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时可把an看作自变量为n的一次函数． 知识点二、等差数列的性质 1．等差中项： (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式是a＋b＝2A． 2．等差中项的理解 (1)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义． (2)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项． 3．等差数列中项与序号的关系 (1)两项关系：在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq \f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*). (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap. 4．等差数列的判定方法： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列． (2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列． (3)中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列． (4)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 5．等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为d， (1)当d>0时，数列{an}为递增数列． (2)当d<0时，数列{an}为递减数列． (3)当d＝0时，数列{an}为常数列． 6．等差数列常用结论 (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的