专题1.7 立体几何与空间向量 - 2021届高三数学三轮复习专题突破（浙江专用）

专题1.7 立体几何与空间向量 立体几何的要点主要从三方面进行记忆和整理：一是概念，比如平面的概念（异面直线，线线、线面、面面所成角等）； 二是定理，比如平行垂直的判定定理和性质定理；三是方法技巧，我们应该掌握一般的证明方法、夹角的求法等. 一．记住和理解常用几何体公式的含义 1.辨明空间几何体的结构特征 多面体 ①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形 ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是平行且相似的多边形 旋转体 ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到 ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到 ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到 2．明确直观图的基本问题[来源:Z§xx§k.Com] (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．明确三视图的基本问题 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法[来源:Zxxk.Com] ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 4．关注画三视图应注意的三个问题 (1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． (2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同． (3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置． 二、理解平面平行定理的应用 1．三公理三推论: 公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2．空间直线: （1）空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点； 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线. （2）平行直线：[来源:学科网ZXXK] 在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的.即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.学科网 （3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线. 3．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点） 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 4．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点） （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.学科网 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行. （2） 两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 三、垂直的相关定理及应用 1．线线垂直 判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直. 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用. 2．线面垂直 定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面