专题1.6 平面解析几何 - 2021届高三数学三轮复习专题突破（浙江专用）

专题1.6 平面解析几何 1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．判断两直线平行或垂直时，不要忘记斜率不存在的情形． 2．求圆的方程有两类方法： （1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系确定圆的半径大小和圆心坐标，进而得出圆的方程； （2）代数法：求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径． 3．判断两条直线位置关系可用一般式来进行判定，也可以用斜截式来判定． 4．判断点和圆、直线和圆、圆与圆的位置关系有两类方法：几何法和定义法 （1）点与圆的位置关系： ①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断， 点在圆外； 点在圆上； 点在圆内； ②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与（或0）作比较， 大于（或0）时，点在圆外； 等于（或0）时，点在圆上； 小于（或0）时，点在圆内． （2）判断直线：与圆的位置关系： ①几何法：求出，比较的大小， 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离； ②代数法：消元得一元二次方程，根据判别式的符号来判断， 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． （3） 圆与圆的位置关系： ①几何法：利用两圆圆心距与两圆半径的关系判断， 两圆外离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 内含； ②代数法：根据两圆方程联立组成的方程组的解的情况判断， 无解相外离或内含； 一组实数解两圆外切或内切； 两组不同实数解两圆相交． 5．直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解，求圆的切线，一般用几何法（圆心到切线的距离等于半径）来求解． 6．与圆有关的最值问题主要题型有： （1）圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值，最小值（是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值，最小值； （2）圆上点到定直线距离的最值，设圆心到直线距离为，直线与圆相离，则最大值，最小值；直线与圆相交，则最大值，最小值0； （3）为⊙O上一动点，求的表达式(如等)的取值范围，一般利用表达式的几何意义转化． 7．求圆锥曲线方程的方法： （1）定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法；（2）待定系数法：“先定型，后计算”，即先确定是何种曲线，焦点在哪个轴上，然后利用条件求的值．如： ①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义； ②中心为原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为，双曲线方程可设为．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中，双曲线中的区别． 8．求曲线方程的常见方法： （1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程； （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求； （3）相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程； （4）参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标联系起来，得到用参数表示的方程．如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程． 注意： （1）求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线． （2）求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念． 9．注意焦点在轴上与轴上的双曲线的渐近线方程的区别． 10．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的关系．基本思路有两种： （1)根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解； (2)根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数，另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系． 11． 关于圆锥曲线的特殊结论： （1） 平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点； （2） 平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点． 涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系“整体代入、设而不求”和判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决． 12．涉及椭圆（或双曲线）两焦点距离的问题、焦点弦问题、焦点三角形问题，常结合定义、正余弦定理或勾股定理等知识解决；涉及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑抛物线的定义． （1