第18讲 圆的基本性质-2021年中考数学优选知识点题型（一领三通）

第18讲 圆的基本性质 一、考点知识梳理 【考点1 圆的有关概念及性质】 1.定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆 圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 3.直径：直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦 4.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、半圆、劣弧之分，能够完全重合的弧叫做等弧 5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 6.同心圆：圆心相同的圆叫做同心圆 7.圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 【考点2 三角形的外接圆】 1.不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，它到三角形的三个顶点的距离相等； 【考点3 垂径定理】 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【考点4 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】 1.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等 2.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 推论3：圆内接四边形的对角互补 【考点5 正多边形和圆及圆的计算】 1.正多边形的外接圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． 2.如果正多边形的边数为n，外接圆半径为R，那么边长an＝⑧2Rsin 周长C＝⑨2nRsin 边心距rn＝⑩Rcos 3.正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 4.圆的弧长及扇形面积公式：如果圆的半径是R，弧所对的圆心角度数是n，那么 弧长公式弧长l＝ 扇形面积公式S扇＝＝②lR 二、考点分析 【考点1 圆的有关概念及性质】 【解题技巧】1．判断点与圆的位置关系时，比较点到圆心的距离与圆的半径即可．当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．反之亦然． 2.在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问题． 【例1】（2020•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A． 【分析】求出＝＝，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的的度数，求出的度数，再求出答案即可． 【解答】解：∵A为中点， ∴═， ∵AB＝CD， ∴＝， ∴＝＝， ∵圆周角∠BDC＝60°， ∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°， ∴的度数是（360°﹣120°）＝80°， ∴对的圆周角∠ADB的度数是， 故选：A． 【一领三通1-1】（2020•黄石）如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．140° B．70° C．110° D．80° 【答案】C． 【分析】先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论． 【解答】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°， ∵∠DCE＝40°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°， ∴∠P＝∠AOB＝70°， ∵A、C、B、P四点共圆， ∴∠P+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°， 故选：C． 【一领三通1-2】（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】D．菁优网版权所有 【解答】解：连接BE， ∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°， ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°， ∴∠BOD＝2∠BED＝90°