专题07 函数的周期性与对称性-2021年高考数学百日冲刺优拔尖精讲精练（新高考地区专用）

专题07 函数的周期性与对称性 【方法点拨】 1.函数奇偶性、对称性间关系： (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称． 2. 函数对称性、周期性间关系： 若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系) 3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】 例1 （2021·江苏泰州期末·8）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，其中a为常数，则的值为( ) A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由得周期 所以 由是奇函数，，所以，故 由因为是定义在R上的奇函数，所以 所以，故. 例2 已知函数f (x)对任意的x∈R，都有f ＝f ，函数f (x＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f (x)＝2x，则方程f (x)＝－在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4 【分析】由f ＝f 对任意的x∈R恒成立，得f (x)关于直线x＝对称，由函数 f (x＋1)是奇函数，f (x)关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x)的周期为2，作出函数f (x)的图象即可. 【解析】因为函数f (x＋1)是奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，又因为f ＝ f ，所以f (1－x)＝f (x)，所以f (x＋1)＝－f (x)，即f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)， 所以 函数f (x)的周期为2，且图象关于直线x＝对称．作出函数f (x)的图象如图所示， 由图象可得f (x)＝－在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为×2×4＝4.