专题04 双变量不等式恒成立与能成立-2021年高考数学百日冲刺优拔尖精讲精练（新高考地区专用）

专题04 双变量不等式恒成立与能成立 【方法点拨】 1.∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max； 2.∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)min> g(x) min； 3. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) max > g(x) min. 【典型题示例】 例1 （2021·江苏苏州·12月考·改编）已知函数，若对任意，都存在使成立，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【解析】由条件可知 因为，且、在[1，2]上单调递增 所以函数在[1，2]上单调递增，， 所以，即在恒成立， 即在恒成立，记， 易证在[1,2]上单调递增， 所以，，从而只需，即. 点评： 为避免求函数最小值时的含参讨论，逆向转化为在上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手段太重要，意味深长！！ 例2 （2021·江苏徐州一中·12月考）已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】即. 当时，，故只需，所以即对恒成立，分参得，令，，，故； 当时，，故只需，所以，且，即对恒成立，分参得，令，，，故； 综上，实数的取值范围. 【巩固训练】 1.设正数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是___________________ 2.已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围 3.函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对∀x1∈[－1,5]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的最小值是________． 4. 若对任意，存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案与提示】 1.【答案】 【思路与解析】：先将放置不等号一侧，可得，所以，先求出的最大值，，可得在单调递增，在单调递减。故，所以若原不等式恒成立，只需，不等式中只含，可以考虑再进行一次参变分离，，则只需，， 所以解得： 2.【答案】 【分析】含有参数，而为常系数函数，且能求出最值，所以以为入手点：若恒成立，则只需.可求出，进而问题转化为，恒成立，此不等式不便于利用参变分离求解，考虑利用最值法分类讨论解决. 【解析】恒成立 只需 由得：，令解得