专题05平面向量培优-2021年高考数学（理）三角函数与解三角形二轮突破提升

《2021年数学（理）三角函数与解三角形二轮突破提升》 专题05 平面向量培优 一、向量共线定理的应用 向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁． 例1　(1) 　(1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．3∶4 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶2 【答案】　C 【解析】　∵＝0，∴＝0，∴＝3. 设BC的中点为G，则＝2， ∴3＝2，即＝， ∴点M在线段AG上，且＝. ∴＝＝，易得＝＝， ∴＝·＝×＝， 即△ABM与△ABC的面积之比为1∶3. (2)在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 【答案】　 【解析】　方法一　∵B，P，N三点共线， ∴∥，∴存在实数λ，使得＝λ (λ>0)， ∴－＝λ(－)， ∵λ>0，∴＝＋. ∵＝，＝m＋， ∴＝m＋， ∴解得 方法二　∵＝，＝m＋， ∴＝m＋. ∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝. 例2　(1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 【答案】　A 【解析】　如图，设＝λ (λ>0)， 又＝＋＝＋， ∴＝λ＋λ＝λ＋λ. 又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1， ∴λ＝，∴＝＋. (2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x，＝y (xy≠0)，则4x＋y的最小值是________． 【答案】　 【解析】　由D为BC的中点知，＝＋， 又＝x，＝y (xy≠0)，E为AD的中点， 故＝＝＋， ∵M，E，N三点共线，∴＋＝1， ∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋ ≥2＋＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． ∴4x＋y的最小值为. 【强调】 (1)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置． 二、平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例　(1)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】　A 【解析】　建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)， ＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)， ·＝·(－1，t－4) ＝17－≤17－2＝13， 当且仅当t＝时等号成立． ∴·的最大值等于13. (2)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为________． 【答案】　5－2 【解析】　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)， 设P(2cos θ，2sin θ)， 则·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝5－2cos θ－4sin θ＝5－2sin(θ＋φ)， 其中0<tan φ＝<，所以0<φ<， 当θ＝－φ时，·取得最小值，为5－2. 【强调】 数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质． 【突破提升练习】 1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　由题意得，＝xa＋yb＝x＋2y， ∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，① 同理，＝2x＋y， ∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，② 由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝. 2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A的平分线与AB边上的中线交于点O.若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y的值为________． 【答案】　 【解析】　∵AO为△ABC的角平分线， ∴存在实数λ(λ≠0)，使＝λ， 即＝λ＋λ， ∴① 设AB边上的中线与AB交于点D， 则＝2x＋y. ∵C，O，D三点共线，∴2x＋y＝1.② 由①②得x＝，y＝，∴x＋y＝. 3．(2020