专题04三角函数培优-2021年高考数学（理）三角函数与解三角形二轮突破提升

《2021年数学（理）三角函数与解三角形二轮突破提升》 专题04 三角函数培优 一、解三角形 高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题. 【例1】(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. 【分析】寻找三角形中已知的边和角,确定转化方向.根据已知条件和转化方向,选择合适的定理和公式,实施边角之间的转化.根据前两步分析,代入求值得出结果. 【解析】(1)因为△ABC的面积S=, 且S=bcsin A,所以=bcsin A, 所以a2=bcsin2A. 由正弦定理得sin2A=sin Bsin Csin2A. 因为sin A≠0,所以sin Bsin C=. (2)由(1)得sin Bsin C=,cos Bcos C=. 因为A+B+C=π, 所以cos A=cos(π-B-C)=-cos(B+C) =sin Bsin C-cos Bcos C=, 又A∈(0,π),所以A=,sin A=, 由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9,　① 由正弦定理得b=·sin B,c=·sin C, 所以bc=·sin Bsin C=8,　② 由①②得,b+c=, 所以a+b+c=3+,即△ABC的周长为3+. 二、三角函数的图像与性质 　　注意对基本三角函数y=sin x,y=cos x的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图,图象的平移,由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解. 【例2】(2017年山东卷)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3,已知f=0. (1)求ω; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值. 【分析】先将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sin t的图象求解. 【解析】(1)因为f(x)=sin+sin, 所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx =sin ωx-cos ωx= =sin. 由题设可知f=0,所以-=kπ,k∈Z, 故ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<3,所以ω=2. (2)由(1)得f(x)=sin, 所以g(x)=sin=sin. 因为x∈,所以x-∈, 当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-. 三、三角函数与平面向量的结合 　　三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数的解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题. 【例3】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n. (1)求角B的大小; (2)若b=,求a+c的取值范围. 【分析】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题. 【解析】(1)∵m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n, ∴(2a+c)cos B+bcos C=0, ∴cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0, ∴2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0. 即2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A. ∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos B=-. ∵0<B<π,∴B=. (2)由余弦定理得, b2=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-=(a+c)2,当且仅当a=c时取等号. ∴(a+c)2≤4,故a+c≤2. 又a+c>b=,∴a+c∈(,2]. 即a+c的取值范围是(,2]. 四、三角函数中的范围、最值问题 以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键． 例1　(1)若函数y＝sin2x＋acos x＋a－在上的最大值是1，则实数a的值为________． 【答案】　 【解析】　y＝1－cos2