专题02三角函数的图像与性质-2021年高考数学（理）三角函数与解三角形二轮突破提升

《2021年数学（理）三角函数与解三角形二轮突破提升》 专题02 三角函数的图像与性质 【考情分析】1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题. 2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． 考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系 重点热点 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 例1　(1)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　角α的终边上一点的坐标为，即为点，在第四象限，且满足cos α＝，sin α＝－，故α的最小正值为，故选C. (2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 【答案】　C 【解析】　∵sin θ＝cos(2π－θ)， ∴sin θ＝cos θ，得tan θ＝， ∴tan 2θ＝＝＝－. 二级结论　(1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可知一求二． 考点二　三角函数的图象与解析式 重点热点 三角函数图象的变换 例2　(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f 等于(　　) A．－2 B．－ C. D．2 【答案】　C 【解析】　∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2. 又f(x)＝Asin(2x＋φ)是奇函数， ∴φ＝kπ(k∈Z)，∵|φ|<π，∴φ＝0， ∴f(x)＝Asin 2x，则g(x)＝Asin x， ∵g＝，即Asin ＝，∴A＝2. ∴f(x)＝2sin 2x， ∴f ＝2sin＝.故选C. (2)(2020·泰安模拟)设函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点； ②f(x)在上单调递增； ③ω的取值范围是. 【答案】　②③ 【解析】　依题意得f(x)＝sin＝sin， T＝，如图： 对于①，根据图象可知，xA≤2π<xB，f(x)在(0,2π)上有3个极大值点，f(x)在(0,2π)上有2个或3个极小值点，故①不正确； 对于③，因为xA＝－＋T＝－＋×＝，xB＝－＋3T＝－＋3×＝，所以≤2π<，解得≤ω<，所以③正确； 对于②，因为－＋T＝－＋×＝，由图可知f(x)在上单调递增，因为ω<<3，所以－＝<0，所以f(x)在上单调递增，故②正确．故②③正确． 易错提醒　(1)根据零点求φ值时注意是在增区间上还是在减区间上． (2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别． 考点三　三角函数的性质 重点热点 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． (2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为；y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为. (3)根据y＝sin t的性质研究y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的性质： 由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得减区间；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴． 例3　(1)已知函数f(x)＝cos，把y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g＝ B．g(x)的图象关于直线x＝对称 C．g(x)的一个零点为 D．g(x)的一个单调递减区间为 【答案】　D 【解析】　因为f(x)＝cos＝cos， 所以g(x)＝cos＝cos， 所以g＝cos ＝－，故A错误； 令2x＋＝kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝－，k∈Z，故B错误； 令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得对称中心的横坐标为x＝＋，k∈Z，故C错误； 因为x∈，故μ＝2x＋∈[0，π]，因为y＝cos μ在[0，π]上是减函数，故g(x)＝cos在上是减函数，故D正确． (2)设函数f(x)＝sin