第17讲 相似三角形及其应用-2021年中考数学优选知识点题型（一领三通）

第16讲 相似三角形及其应用 一、考点知识梳理 【考点1 相似三角形的判定及性质】 1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．性质： (1)相似三角形的对应角相等； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例； (3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．判定： (1)两角对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (3)三边对应成比例，两三角形相似； (4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 4．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 【考点2 位似图形】 1．相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2．相似多边形的性质： (1)相似多边形的对应边成比例； (2)相似多边形的对应角相等； (3)相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方． 3．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 4．位似图形的性质： (1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k； (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 5．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心． 6．画位似图形的步骤： (1)确定位似中心； (2)确定原图形的关键点； (3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点； (5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 【考点3 相似三角形的应用】 相似三角形的知识在实际中应用非常广泛，主要是用来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度． 二、考点分析 【考点1 相似三角形的判定及性质】 【解题技巧】1.判定三角形相似的几条思路： (1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)； (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； (4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例． 2.应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：＝，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？可以举例说明． 【例1】（2020•宜宾）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（　　） A．20° B．45° C．65° D．70° 【答案】D． 【解答】解：∵M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点， ∴MN∥BC， ∴∠C＝∠ANM＝45°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°， 故选：D． 【一领三通1-1】（2020•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】C． 【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴， ∵EG∥AB， ∴， ∴， 故选：C． 【一领三通1-2】（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为　 　． 【答案】2． 【分析】由平行线得三角形相似，得出AB•DE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝，即＝， ∴AB•DE＝16， ∵AB+DE＝10， ∴AB＝2，DE＝8， ∴， 故答案为：2． 【一领三通1-3】（2020•沈阳）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为　 　． 【答案】8． 【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点， ∴EF是△BCM的中位线， ∵EF＝6， ∴BC＝2EF＝12， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝12， ∵AM＝2MD， ∴AM＝8， 故答案为：8． 【