第15讲 三角形及其全等-2021年中考数学优选知识点题型（一领三通）

第15讲 三角形 一、考点知识梳理 【考点1 三角形及相关概念】 1．三角形的分类 (1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 (2)按边分类不等边三角形: 等腰三角形、等边三角形、腰与底边不相等的三角形 2．三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．任意两边之差小于第三边. 3．内角和定理：三角形的内角和等于180°． 4．内外角关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 5．三角形中的四条重要线段 中线：连接一个顶点与它对边中点的线段高线 高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段 角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段 中位线：连接三角形两边中点的线段 【考点2 全等三角形及其性质】 1．全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应周长相等，对应面积相等 3．判定两个三角形全等的一般方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：边边边SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：角边角ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：角角边AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：边角边SAS． 【考点3 直角三角形及勾股定理】 1.性质：直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的边等于斜边的一半；（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 2. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；即（ａ、ｂ为直角三角形的直角边，c为斜边）。 3.勾股定理的逆定理 如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 即：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为、、，若，则∠C=90°（即△ABC是直角三角形） 4.直角三角形的判定：（1）有一个角等于90°的三角形是直角三角形；（2）勾股定理的逆定理。 【考点4 等腰三角形及线段的垂直平分线】 1.性质：（1）等边对等角；（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边的中线重合（即三线合一）；（3）等边三角形的各边相等，各角相等，每个角都等于60°. 2.判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角等于60°的三角形是等腰三角形。 3.线段的垂直平分线： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 2、 考点分析 【考点1 三角形及相关概念】 【解题技巧】1.判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形． 2.三角形的面积：（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【例1】（2020•吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A．85° B．75° C．65° D．60° 【答案】B． 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：如图所示， ∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°， ∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°， 故选：B． 【一领三通1-1】（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm 【答案】C． 【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可． 【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得： 6﹣3＜x＜6+3， 解得：3＜x＜9， 故选：C． 【一领三通1-2】（2020•北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　 　S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】菁优网版权所有＝． 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【解答】解：∵S△ABC＝×2×4＝4，S△ABD＝2×5﹣×5×1﹣×1×3﹣×2×2＝4， ∴S△ABC＝S△ABD， 故答案为：＝． 【一领三通1-3】（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度