理科数学-学科网2021年高三1月大联考（新课标Ⅰ卷）（含考试版+全解全析+参考答案+答题卡）

学科网2021年高三1月大联考（新课标Ⅰ卷） 理科数学·参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B A B C A B D D D C B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13． 14． 15． 16． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 【解析】（1）因为 ，所以 ， 所以 ，（1分） 又 ，（2分） ，所以 ， 所以 ，（3分） 因为 为钝角三角形，所以 ，所以 ，（4分） 所以 .（5分） （2）因为 ， 所以由正弦定理，得 ，（6分） 即 ，因为 ，所以 ，（7分） 由正弦定理得 ，（8分） 因为 <1，所以 ，（9分） 所以 ，（10分） 所以 的面积 （11分） ．（12分） 注：（1）如果只有正确的正弦定理和面积公式，一个1分 （2）只要有正确的两角和与差的正、余弦公式，一个1分，最多给2分 （3）没有 ， ，不扣分 18．（12分） 【解析】（1）由题可得 ，即 ，（2分） ， 即 ，由于 ，即 ，且 ，所以 ，（4分） 所以 ，所以 ．（6分） 注：（1） 的计算，公式正确1分，结果正确1分 （2） 的计算，公式正确1分，结果正确1分 （3） 的计算，公式正确1分，结果正确1分 （2）从该校的学生中随机抽取 名学生，该名学生平均每天学习数学的时间超过 分钟的概率为 ，（7分） 所以随机变量 ，则 ， ，（8分） ， ，（9分） 所以 的分布列为 （10分） 所以 （或 ）．（12分） 注：（1）没有 ，不扣分 （2）四个概率值，每对2个，得1分 （3）只有分布列，没有计算过程，扣2分 （4）数学期望公式正确，得1分，结果正确，得1分 19．（12分） 【解析】（1）因为 ， 是 的中点，所以 ，（1分） 同理可得 ，（2分） 因为 ，所以 平面 ．（3分） 因为 ，所以平面 平面 ．（4分） 注：如果没有条件 ， 平面 ，不扣分 （2）设 ，因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ．（5分） 如图，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 ， （6分） 则 ， ， ， ，（7分） 所以 ， ，（8分） 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，可得 ， ，所以平面 的一个法向量为 ．（9分） 易知 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，（10分） 所以 ，（11分） 所以二面角 的正弦值为 ．（12分） 注：（1）没有证明 ，直接建系，扣1分 （2）坐标系有文字叙述，且正确，没有在图中显示，或者在图中正确显示，没有文字叙述，都不扣分。 （3）余弦值如果是负值，不扣分 （4）不同的建系方法，参考本评分细则 （5）个别字母笔下误，但不影响结果，不扣分 20．（12分） 【解析】（1）因为椭圆 过点 ，所以 ，（1分） 又椭圆 的离心率为 ，所以 ，（2分） 又 ，所以 ，解得 ，（3分） 所以椭圆 的标准方程为 ．（4分） 注：（1）只有公式 ，给1分 （2）只有公式 ，给1分 （3）椭圆方程写成 ，扣1分 （4）椭圆方程只要正确，形式不同，不扣分 （2）由题可得 ， ，可设直线 的方程为 ， ， ， 将 代入 ，消去 可得 ，（5分） 所以 ， ，（6分） 又 ， ， 三点共线，所以可设 ， 设 ， ，则 ，所以 ，（7分） 则 ，（8分） 同理可得 ，（9分） 所以 （10分） ，（11分） 所以 ，所以 是定值．（12分） 注：（1）直接指出结果为定值，不管有没有 ，不扣分 （2）若对直线 斜率是否存在进行讨论，可按照相应步骤给分，其中斜率不存在的情形，占1分 （3）如果 没有化简，直接给出结果，扣1分 （4）第二问只有一个猜出的结果为定值，没有任何过程，给1分 21．（12分） 【解析】（1）当 时， ，所以 ，（1分） 所以 ，（2分） ，（3分） 所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ， 即 ．（4分） 注：切线形式不做要求，只要正确，不论哪种形式，就给分 （2）解法一：因为关于 的不等式 恒成立， 所以当 时， ，即 恒成立．（5分） 因为 ，所以令 ，下面证明 ． 令 ，则 ，（6分） 所以当 时， ；当 时， ，（7分） 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，即 ．（8分） 所以 ，即 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立．（9分） 令 ，则