理科数学-学科网2021年高三1月大联考（新课标Ⅲ卷）（含考试版+全解全析+参考答案+答题卡）

学科网2021年高三1月大联考（新课标Ⅲ卷） 理科数学·参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B B C B C B C A C B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13． 14． 15． 16．①②③ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 【解析】（1）因为 ， 所以 ．（3分） 因为 为锐角三角形，所以 ， 所以 ，所以 ．（5分） 注：（1）看到用三角形内角和将 化为 ，给1分 （2）三角公式 展开正确，给1分 （3）看到 给1分 （4）化简过程中没有出现 而直接得出 可以给4分 （2）因为 ， 所以由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ，（6分） 所以 ，（7分） 所以 ，（8分） 由 为锐角三角形，且 ，可得 ，所以 ，（9分） 所以 ，所以 ，（10分） 因为 的面积 ，所以 ，（11分） 故 面积的取值范围为 ．（12分） 注：（1）由 直接得出 也可以，给1分 （2）不出现 直接用正弦定理化简得到： 可以不扣分 （3）如果不讨论角 取值范围，后面步骤不给分 （4）整个过程找不到得分点时，能正确写出两角和差公式或诱导公式给1分，能正确写出正弦定理或面积公式给1分，公式分最高给2分 18．（12分） 【解析】（1）根据已知数据得到如下2×2列联表： 钓鱼总质量少 钓鱼总质量多 合计 在浅水区的专业队数量 50 17 67 在深水区的专业队数量 21 12 33 合计 71 29 100 （3分） 代入公式可得 的观测值 （4分） ．（5分） 所以没有85%的把握认为每队钓鱼总质量多少与水域的深浅有关．（6分） 注：填对第三行合计得1分，填 对第二列得1分，其余1分；行或列没有全对的情况下，填有数字对的给1分 （2）每支专业队被安排在深水区参赛的概率P= ， 抽取3支专业队，在深水区参赛的有 支， （7分） 由题可得 ，（8分） 所以 （9分） ，（10分） 随机变量 的数学期望 （11分） ．（12分） 19．（12分） 【解析】（1）因为 ， 是 的中点，所以 ，（1分） 同理可得 ，（2分） 因为 ，所以 平面 ．（3分） 因为 ，所以平面 平面 ．（4分） 注：如果没有条件 ， 平面 ，不扣分 （2）设 ，因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ．（5分） 如图，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 ， （6分） 则 ， ， ， ，（7分） 所以 ， ，（8分） 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，可得 ， ，所以平面 的一个法向量为 ．（9分） 易知 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，（10分） 所以 ，（11分） 所以二面角 的正弦值为 ．（12分） 注：（1）没有证明 ，直接建系，扣1分 （2）坐标系有文字叙述，且正确，没有在图中显示，或者在图中正确显示，没有文字叙述，都不扣分。 （3）余弦值如果是负值，不扣分 （4）不同的建系方法，参考本评分细则 （5）个别字母笔下误，但不影响结果，不扣分 20．（12分） 【解析】（1）因为椭圆 过点 ，所以 ，（1分） 又椭圆 的离心率为 ，所以 ，（2分） 又 ，所以 ，解得 ，（3分） 所以椭圆 的标准方程为 ．（4分） 注：（1）只有公式 ，给1分 （2）只有公式 ，给1分 （3）椭圆方程写成 ，扣1分 （4）椭圆方程只要正确，形式不同，不扣分 （2）由题可得 ， ，可设直线 的方程为 ， ， ， 将 代入 ，消去 可得 ，（5分） 所以 ， ，（6分） 又 ， ， 三点共线，所以可设 ， 设 ， ，则 ，所以 ，（7分） 则 ，（8分） 同理可得 ，（9分） 所以 （10分） ，（11分） 所以 ，所以 是定值．（12分） 注：（1）直接指出结果为定值，不管有没有 ，不扣分 （2）若对直线 斜率是否存在进行讨论，可按照相应步骤给分，其中斜率不存在的情形，占1分 （3）如果 没有化简，直接给出结果，扣1分 （4）第二问只有一个猜出的结果为定值，没有任何过程，给1分 21．（12分） 【解析】（1）由题可得函数 的定义域为 ，（1分） ，（2分） 令 ，则 ，（3分） 所以当 时， ；当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，当且仅当 时取等号，（4分） 所以当 且 时， ，所以