课时作业1 正弦定理(Word练习)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时作业(一)　正弦定理 1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 (　　) A．75° B．60° C．45° D．30° B　[由三角形的面积公式及题设可得3，∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°.]×4×3×sin C，∴sin C＝＝ 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，则b＝ (　　) ，c＝2，cos A＝ A． B． C．2 D．3 D　[由cos A＝.＝＝，由正弦定理得sin C＝得sin A＝ 由a>c得A>C，∴cos C＝. ∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝1， 由正弦定理得b＝， ∴b＝3.] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若3a＝2b，则的值为 (　　) A．－ B． C．1 D． D　[由正弦定理可得.]＝＝sin A，将其代入所求式子中，得，∴sin B＝＝＝ 4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，得 sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A，∵sin A≠0， ∴sin A＝1，又0＜A＜π，即A＝. ∴△ABC为直角三角形．] 5．(多选题)已知△ABC中，|，则∠BAC＝ (　　) |＝3，且△ABC的面积为|＝2，| A．150° B．120° C．60° D．30° AD　[由已知得×2×3sin∠BAC，|sin∠BAC＝|×||＝ ∴sin∠BAC＝.又0°＜∠BAC＜180°，∴∠BAC＝30°或150°.] 6．在△ABC中，若a＝2，cos A＝，则b＝ .，cos B＝－ .＝，∴sin A＝ 　[∵cos A＝ ∵cos B＝－.＝，∴sin B＝ 由正弦定理.]＝＝，得b＝＝ 7．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝ . 75°　[如图，由正弦定理，得 .，∴sin B＝＝ 又c>b，∴B＝45°， ∴A＝180°－60°－45°＝75°.] 8．(多空题)在△ABC中，a＝5，B＝135°，C＝15°，则此三角形的最大边长为 ，外接圆半径为 . 5＝10，得R＝5.].由2R＝＝5＝，得b＝＝　5　[因为B为钝角，所以B为最大角，b为最大边．由三角形内角和定理得A＝180°－135°－15°＝30°，由正弦定理 9．在△ABC中，已知AB＝10，5的情况下，求相应的角C．，A＝45°，在BC边的长分别为20， 解　由正弦定理，得sin C＝.＝ (1)当BC＝20时，sin C＝，∵BC>AB，∴A>C， ∴C＝30°； (2)当BC＝.时，sin C＝ ∵AB·sin 45°<BC<AB，∴C有两解，∴C＝60°或120°； (3)当BC＝5时，sin C＝2>1，∴C不存在． 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 acos C＋ c＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝1，b＝，求c的值． 解　(1)由acos C＋sin C＝sin B．c＝b和正弦定理，得sin Acos C＋ ∵sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴. sin C＝cos Asin C，∵sin C≠0，∴cos A＝ ∵0＜A＜π，∴A＝. (2)由正弦定理及(1)，得sin B＝. ＝＝ ∴B＝，，得C＝时，由A＝.①当B＝或 ∴c＝2.②当B＝.，得C＝时，由A＝ ∴c＝a＝1.综上可得，c＝1或c＝2. 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若A∶B＝1∶2，且a∶b＝1∶，则cos 2B的值是 (　　) A．－ B． C．－ D． A　[依题意，∵a∶b＝1∶，，∴sin A∶sin B＝1∶ 又A∶B＝1∶2，即.]，∴A＝30°，B＝60°，cos 2B＝－，则cos A＝＝ 2．在△ABC中，若acos C＝ccos A，则△ABC的形状一定是 (　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 C　[∵acos C＝ccos A，∴由正弦定理知sin Acos C＝ cos Asin C．∴sin Acos C－cos Asin C＝0.∴sin(A－C)＝0.∵0<A<π，0<C<π，∴－π< A－C<π.∴A－C＝0， ∴A＝C．∴△ABC为等腰