课时作业8 复数的乘法与除法(Word练习)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时作业(八)　复数的乘法与除法 1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为 (　　) A．6－4i B．－6－4i　 C．6＋4i D．－6＋4i D　[(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.] 2．若z＝＝ (　　) ，则复数 A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i D　[∵z＝＝2＋i.]＝2－i，∴＝ 3．若1＋3i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的一个根，则方程的另一个根为 (　　) A．3＋i B．1－3i C．3－i D．－1＋3i B　[根据复数范围内，实系数一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数知，另一个根为1－3i.] 4．若a为实数，且＝3＋i，则a＝ (　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 D　[i＝3＋i，＋＝＝ 所以解得a＝4.] 5．(多选题)下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为 (　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 BD　[∵z＝＝－1－i， ∴|z|＝，∴A是假命题；＝ ∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴B是真命题； ∵＝－1＋i，∴C是假命题； ∵z的虚部为－1，∴D是真命题．] 6．(2018·天津卷)i是虚数单位，复数＝ . 4－i　[由复数的除法运算法则得：＝4－i.]＝＝ 7．(多空题)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则a的值为 ，b的值为 . 2　1　[因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1.] 8．已知复数z＝1＋i. (1)设ω＝z2＋3－4，求ω； (2)若＝1－i，求实数a，b的值． 解　(1)因为z＝1＋i， 所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i. (2)因为z＝1＋i， 所以＝1－i，＝ 即＝1－i， 所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i， 所以解得 9．已知1－i是关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个根，求实数a，b的值． 解　法一：因为1－i是关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个根， 所以a(1－i)＋1＝0，i)2＋b(1－ 即－a＋b＋1－(2b)i＝0，a＋ 根据复数相等的定义，得 .，b＝－解得a＝ 法二：根据复数范围内，实系数一元二次方程的虚数根的情况知，1＋i是方程的另一个根，所以 解得a＝.，b＝－ 1．设a是实数，且∈R，则实数a＝ (　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 B　[因为所以a＝1.]＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，所以有∈R，所以不妨设 2．复数z＝i，则a的值为 (　　) －－ai，a∈R，且z2＝ A．1 B．2 C． D． C　[由z＝.]，解得a＝i，所以－ai，因为z2＝－a2－×ai＋(ai)2＝2－2×－ai，a∈R得z2＝ 3．(多选题)设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是 (　　) A．若|z1－z2|＝0，则21＝ B．若z1＝1＝z22，则 C．若|z1|＝|z2|，则z1·21＝z2· D．若|z1|＝|z2|，则z＝z ABC　[A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒2，真命题；1＝ B，z1＝1＝z2，真命题；2⇒ C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·2，真命题；1＝z2· D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1， z，假命题．]≠z＝－1，即z 4．设z的共轭复数是＝ .＝8，则＝4，z·，若z＋ ±i　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 由z＋∴＝8得＝4，z· ∴z＝2＋2i，＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i， ＝±i.]＝i.∴＝＝－i或＝ 5．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有实根，则纯虚数m＝ . i　[设m＝bi(b∈R，且b≠0)，x0为方程的一个实根， 由题意得x＋(1＋2i)x0－(3bi－1)i＝0， ∴(x＋x0＋3b)＋(2x0＋1)i＝0， ∴ 解得 ∴m＝i.] 6．已知复数z在复平面上对应的点在第二象限，且满足z2＝. (1)求复数z； (2)设z，z2，z3在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 解　(1)设z＝a＋bi(a＜0，b＞0)，则＝a－bi， 故z2＝a2－b2＋2abi＝＝a－bi. ∴a2－b2＝a,2ab＝－b. 又a＜0，b＞0，解得a＝－，，b＝ ∴z＝－i.＋ (2)由(1)，得z＝－i，＋ z2＝－i，z3＝1.－ z，z2，z3在复平面上对应点A，B，C，如图所示：