课时作业20 直线与平面垂直(Word练习)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时作业(二十)　直线与平面垂直 1．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是 (　　) A．60° B．45° C．30° D．120° A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.] 2．如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 (　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 C　[如图，连接AC．因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又MC⊥平面ABCD，即AC是MA在平面ABCD内的射影，根据“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”，得BD⊥MA．显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．] 3．下列命题正确的是 (　　) ①⇒a∥b； ⇒b⊥α；　　　② ③⇒b⊥α.⇒b∥α；　　　④ A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ A　[①②正确，③不正确，当a⊥α且a⊥b时，有b∥α或b⊂α；④不正确，当a∥α，a⊥b时，有b与α相交或b∥α或b⊂α.] 4．已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，则异面直线A1C1与B1C所成角的大小为 (　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　[如图，连接A1D和C1D， ∵B1C∥A1D， ∴∠DA1C1或其补角为异面直线A1C1与B1C所成角． 又A1D、DC1、A1C1为正方体各面上的对角线， ∴A1D＝DC1＝A1C1， ∴△A1DC1为等边三角形， ∴∠C1A1D＝60°，即异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.] 5．(多选题)如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，则下列结论中正确的是 (　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 ABC　[∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；由于AB∥CD，∴AB∥平面SCD，故B正确；由于AC⊥平面SBD，设AC∩BD＝O，则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，同理SC与平面SBD所成的角为∠CSO，∴SA＝SC＝，又O为AC的中点，∴∠ASO＝∠CSO，∴C正确．D显然不正确．] 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为 . 4　[∵PA⊥平面ABC， ∴△PAC，△PAB为直角三角形，又∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形， 又BC⊥AC，PA⊥平面ABC， ∴BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC， ∴BC⊥PC，即△PBC为直角三角形．] 7．如图所示：直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．则直线SD与平面ABC的位置关系为 . 垂直　[∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC． 则在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC．] 8．(多空题)已知三棱锥S­ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥平面ABC，SA＝3，D为BC的中点，则SD＝ ，SD与平面ABC所成角的正切值为 . 2　[如图，连接AD，　 ∵△ABC为等边三角形，D为BC的中点， ∴AD＝2×，又SA⊥平面ABC，＝ ∴SA⊥AD，∠SDA为SD与平面ABC所成的角， ∴SD＝.]＝＝，tan∠SDA＝＝2 9．如图所示的三棱锥P­ABC中，PA、PB、PC两两垂直． (1)求证：PA⊥BC； (2)求证：点P在平面ABC上的射影为△ABC的垂心． 证明　(1)∵PA、PB、PC两两垂直， ∴PA⊥PB，PA⊥PC， 又PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC， ∴PA⊥平面PBC，由线面垂直的定义可知PA⊥BC． (2)设点P在平面ABC上的射影为H，连接AH，则PH⊥平面ABC， ∴PH⊥BC， 又由(1)知AP⊥BC，又AP∩PH＝P， ∴BC⊥平面APH，∴BC⊥AH， 同理可证：BH⊥AC，CH⊥AB， ∴H为△ABC的垂心． 10．已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝AD＝4，E为BC的中点． (1)求证：DE⊥平面PAE； (2)求直线DP与平面PAE所成的角． (1)证明　在△ADE中，AE＝ED＝2，AD＝4， ∴AD2＝AE2＋DE2，∴AE⊥DE. ∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE. 又PA∩AE＝A，PA，