第六章 2 竖直平面内的圆周运动 —2020-2021学年【新教材】人教版（2019）高中物理必修二同步

竖直平面内的圆周运动 物体在竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下只讨论最高点和最低点的情况。 模型1　轻绳模型 如图所示，轻绳拉着小球在竖直平面内做圆周运动，或者小球在竖直放置的光滑圆弧形轨道内侧运动。该题型的特点是小球到达最高点时没有物体支撑小球，而轻绳或轨道对小球只能有向下的拉力或弹力。 细绳系的小球或在光滑轨道内侧运动的小球，在最高点时： ①v＝时，拉力或压力为零； ②v＞时，物体受向下的拉力或压力； ③v＜时，物体不能达到最高点(如图)。 绳只能提供拉力而不能提供支持力，在最高点时有F＋mg＝m≥mg，所以小球通过最高点的条件是v≥，通过最高点的临界条件是v临＝。 例1：一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m=0.5kg ，水的重心到转轴的距离l=50cm ,g取10m/s2，不计空气阻力 （1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率； （2）若在最高点水桶的速率v=3m/s，求水对桶底的压力。 【详解】以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。 此时有： 则所求的最小速率为： 设桶运动到最高点对水的弹力为F，则水受到重力和弹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： 解得： 根据牛顿第三定律，水对桶的压力大小： 变式训练1：一质量为0.5kg的小球，用长为0.4m细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动（g取10m/s2）求： （1）若过最低点时的速度为6m/s，此时绳的拉力大小F1？ （2）若过最高点时的速度为4m/s，此时绳的拉力大小F2？ （3）若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小？ 【详解】（1）当过最低点时的速度为时，重力和细线拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得： 所以：； （2）当小球在最高点速度为时，重力和细线拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得： 所以：； 过最高点时绳的拉力刚好为零，重力提供圆周运动的向心力。 根据牛顿第二定律得： 所以： 变式训练2：如图所示，一质量为m=0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？ (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？ 【解析】(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即F1≥0 。联立得v≥代入数值得v≥2 m/s所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。 (2)将v2＝4 m/s代入得F2＝15 N (3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得将F3＝45 N代入得v3＝m/s 即小球的速度不能超过m/s。 例2：在一次杂技表演中，演员骑摩托车在球形铁丝笼内沿竖直面做圆周运动。其模型可简化为一小球在竖直面内做圆周运动，轨道半径为L，如图所示。质量为m的小球以大小相等的速度v通过最低点和最高点，小球对轨道的压力大小分别为F1和F2，重力加速度大小为g ，则（F1-F2）大小为（ B ） A． B．2mg C．3mg D．6mg 【详解】在最低点，由向心力公式有在最高点，由向心力公式有两式相减可得F1-F2=2mg故B正确，ACD错误。故选B。 变式训练3：如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为0，改变小球运动的速度，当小球在最高点时，每根轻绳的拉力大小为，则此时小球的速率为（ C ） A．v B．v C．2v D． 【详解】根据几何关系可知，小球做圆周运动的半径为小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有解得当小球在最高点时，每根轻绳的拉力大小为，小球受到的合外力 根据牛顿第二定律有联立解得v′=2v故选C。 模型2　轻杆模型 如图所示，小球固定在轻杆上，在竖直平面内做圆周运动，或小球在竖直放置的光滑圆管中运动。该题型的特点是小球到达最高点时杆不但可以对小球有拉力，还可以对小球产生支持力，而光滑圆管不仅可以对小球产生向下的压力，还可以对小球产生向上的支持力。 在细轻杆上固定的小球或在管形光滑轨道内运动的小球，在最高点时： ①v＝0时，小球受向上的支持力FN＝mg。 ②0＜v＜时，小球受向上的支持力FN满足0＜FN＜mg。 ③v＝时，小球除受重力之外不受其