专题18 函数与导数解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题18 函数与导数解答题 1．（福建省泉州市2021届高三联考）设函数 (1)研究函数 的极值点； (2)当 时，若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围； (3)证明: EMBED Equation.DSMT4 ． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）证明见解析 【分析】 （1）先求出函数 的导数 ，对 的符号进行分类讨论，即对函数 是否存在极值点进行分类讨论，结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值；（2）利用（1）中的结论，将问题转化为 ，结合（1）中的结论列不等式解参数 的取值范围； （3）在（2）中，令 ，得到不等式 在 上恒成立，然后令 得到 ，两边同除以 得到 ，结合放缩法得到 ，最后；利用累加法即可得到所证明的不等式. 【解析】 （1） 的定义域为 ， 当 时， 在 上单调递增，无极值点， 当 时，令 随 的变化情况如下表： (0， ) + 0 － 极大值 从上表可以看出：当 时， 有唯一的极大值点 （2）当 时在 处取得极大值 ， 此极大值也是最大值，要使 恒成立，只需 ， ∴ ，即 的取值范围为 ； （3）令 ，由（2）知， ∴ ，∴ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ,∴结论成立 另解：设函数 ，则 ， 令 ，解得 ，则 ， ∴ = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 2．（福建省漳州市2021届高三质量检测）已知函数 ， . （1）求函数 的极值点； （2）若关于 的方程 至少有两个不相等的实根，求 的最大值. 【答案】（1）极大值点为 ，不存在极小值点；（2）最大值为 . 【分析】 （1）对函数求导，根据导函数正负判断函数的单调性，确定函数的极值点即可； （2）根据 ，可以分离出参数得 ，故构造新函数 ，求导确定新函数的最值，进而确定参数 的最大值. 【解析】 解：（1）函数 的定义域为 . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 令 ，得 或 (舍). 当 时， ，∴ 单调递增； 当 时， ，∴ 单调递减，则当 时，函数 取得极大值， 故函数 的极大值点为 ，不存在极小值点. （2）由 可得 ， ∴ . 设 ，则 . 令 . 则 ，令 ，可得 或 (舍). 所以 在 上， ， 单调递减； 在 上， ， 单调递增， 所以函数 的最小值为 . 又 ，所以当 时， ， 又当 时， ， 因此必存在唯一 ，使得 ， 当 变化时， ， ， 的变化情况如表： 1 + 0 - 0 + + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当 时， 有极大值 ， 当 时， 有极小值 . 又 ， ，且当 时， ， 所以 ，可得 时，直线 与函数 至少有两个交点，所以 的最大值为 . 3．（湖北省2020-2021学年高三模拟）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 在 上恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） . 【分析】 （1）求得函数的导数 ，分 和 ，两种情况讨论，结合导数的符号可得答案； （2）由 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立，设 ，利用导数求得函数 单调性，得到 ，再设函数 ，求得其导数，分 、 和 三种情况讨论，求得函数的单调性和最值，即可求解. 【解析】 （1）由题意，函数 ，可得 ， 当 时， 恒成立，则 在 上单调递减， 当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增； （2）因为 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 设 ，则 ，则 在 上的单调递增， 因为 ，所以 ， 设 ，则 ， 当 时， ，则 在 上单调递减， 因为 ，所以 ，所以 ，故 ，不符合题意； 当 时，由（1）可知 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ，从而 ， ，故 ，不符合题意； 当 时，设 ，则 . 因为 在 上恒成立，所以 ，所以 ， 则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 则 在 上单调递增，从而 ， 即 ，故 ，符合题意. 综上可得，实数 的取值范围为 . 4．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）已知函数 的定义域为 . （1）当 取得最小值时，记函数 在 处的切线方程为 .若 恒成立且 ，求 的最大值； （2）若 有两个极值点 和 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析； 【分析】 （1）根据定义域判断得 ，从而得切线方程 ，根据 恒成立，可代入 判断即可得 的最大值；（2）构造新函数 与 ，求导并判断单调性，计算最值，可得 与 ，再根据极值点的定义可