专题17 解析几何解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题17 解析几何解答题 1．（福建省泉州市2021届高三联考）已知椭圆E: 的一个焦点为 ,长轴与短轴的比为2:1.直线 与椭圆E交于P､Q两点,其中 为直线 的斜率. (1)求椭圆E的方程; (2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不论直线 的斜率 取何值,定圆O恒与直线 相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由. 【答案】(1) (2)存在, . 的取值范围是 【分析】 （1）根据题意直接计算出 得到答案. （2）设直线OP的方程为: 点的坐标为 ,则 ,联立方程组 ，设坐标原点O到直线 的距离为d,则有 ，得到 ，计算得到答案. 【解析】 (1)由已知得: 解得: EMBED Equation.DSMT4 椭圆E的方程为 (2)假设存在定圆O,不论直线 的斜率k取何值时,定圆O恒与直线 相切. 这时只需证明坐标原点O到直线 的距离为定值即可. 设直线OP的方程为: 点的坐标为 ,则 , 联立方程组 ① 以线段PQ为直径的圆过坐标原点O, ,直线OQ的方程为: 在①式中以 换t,得 ② 又由 知: 设坐标原点O到直线 的距离为d,则有 又当直线OP与 轴重合时, 此时 由坐标原点O到直线 的距离 为定值知,所以存在定圆O,不论直线 的斜率k取何值时,定圆O恒与直线 相切,定圆O的方程为: . 直线 与 轴交点为 ,且点 不可能在圆O内,又当k=0时,直线 与定圆O切于点 ,所以 的取值范围是 2．（福建省漳州市2021届高三质量检测）已知直线 ： 与 轴交于点 ，且 ，其中 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点. （1）求拋物线 的方程； （2）若直线 与抛物线 相交于 ， 两点( 在第一象限)，直线 ， 分别与抛物线相交于 ， 两点，与 轴交于 ， 两点，且 为 中点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值； （3）在（2）的条件下，求 的面积的取值范围. 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） . 【分析】 （1）先求出点 的坐标，进而求出点 的坐标，所以 ，可求得p，从而即可求出抛物线方程； （2）把直线和抛物线方程联立，解得 ， 的坐标，再通过设点 ， 的坐标，表示出 ， ，再代入求出定值即可； （3）先表示出直线 的方程，与抛物线联立，得到点 的坐标，代入公式可得点 到直线 的距离，再利用弦长公式求得PB的长，从而表示出 的面积，再根据定点的切线方程求参数t的取值范围，进而确定面积的取值范围. 【解析】 （1）由已知得 ，且 为 的中点，所以 . 所以 ，解得 ， 故抛物线 的方程为 . （2）证明：联立 ，解得 ， ， 由 为 的中点得 . 不妨设 ， ，其中 . 则 ， . 所以 ， 即 为定值. （3）由（2）可知直线 的方程为 ，即 ， 与抛物线联立 ，消x可得 ， 解得 或 （舍）， 所以 ，即 ， 故点 到直线 的距离 . 设过点 的抛物线的切线方程为 ， 联立 得 ， 由 ，得 ， 所以切线方程为 ，令 ，得 ， 所以要使过 点的直线与抛物线有两个交点， ， 则有 ， 又 ， 所以 ， 即 ，故 的面积的取值范围为 . 3．（湖北省2020-2021学年高三模拟）已知抛物线 ， 为其焦点， ， 三点都在抛物线 上，且 ，设直线 的斜率分别为 . （1）求抛物线 的方程，并证明 ； （2）已知 ，且 三点共线，若 且 ，求直线 的方程. 【答案】（1） ，证明见解析；（2） . 【分析】 （1）由抛物线的定义和 ，求得 ，得出抛物线的方程及点 ，利用斜率公式，分别求得 ，即可求解； （2）设直线 的方程为 ，其中（ ），联立方程组，利用韦达定理和根与系数的关系，结合 ，列出方程，即可求解. 【解析】 （1）由题抛物线 ， ，且 ， 根据抛物线的定义，可得 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ，且点 ， 设点 ，可得 ，同理 ， ， 所以 ， ，所以 . （2）由 ，且 三点共线， 设直线 的方程为 ，其中（ ）， 联立 ，消去 得 ， 则 ， ， 又由 ，解得 或 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 由（1）知 ，所以 ，且 ，所以 ， 所以直线 的方程为 ，即 . 4．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， 且左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆 上的动点，在点 的运动过程中，有且只有 个位置使得 为直角三角形，且 的内切圆半径的最大值为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 作两条互相垂直的直线交椭圆 于 ， 两点，记 的中点为 ，求点 到直线 的距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由条件得出当点 位于椭圆 的上