专题16 立体几何解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题16 立体几何解答题 1．（福建省泉州市2021届高三联考）已知 的各边长为3，点D，E分别是 ， 上的点，且满足 ，D为 的三等分点（靠近点A），（如图（1）），将 沿 折起到 的位置，使二面角 的平面角为 ，连接 ， （如图（2））. （1）求证： 平面 ； （2）在线段 上是否存在点P，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）存在， 【分析】 （1）等边 中，由已知得到 ， ，由余弦定理算出DE，从而得到 ，则 .结合题意得 为二面角 的平面角，又二面角 为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出 平面 ； （2）以D为坐标原点，以射线 、 、 分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系 ，求出平面 的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可. 【解析】 （1）证明：由图（1）可得： ， ， . 从而 故得 ，∴ ， . ∴ ， ， ∴ 为二面角 的平面角， 又二面角 为直二面角，∴ ，即 ， ∵ 且 ， 平面 ， ∴ 平面 ； （2）存在，由（1）知 ， 平面 . 以D为坐标原点，以射线 、 、 分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系 ，如图， 过P作 交 于点H， 设 （ ），则 ， ， ， 易知 ， ， ，所以 . 因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 因为直线 与平面 所成的角为 ，所以 ，解得 . ∴ ，满足 ，符合题意. 所以在线段 上存在点P，使直线 与平面 所成的角为 ，此时 . 2．（福建省漳州市2021届高三质量检测）如图，四边形 为正方形， ， . ， 分别是边 ， 的中点，直线 与平面 所成的角为 . （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）先证明 为直线 与平面 所成角，得到 为等边三角形，然后证明 ， ，进而证得 平面 ； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面 和平面 的一个法向量，再利用空间向量夹角公式求解二面角的余弦值即可. 【解析】 解：（1）证明：∵ ， ， ， ∴ 平面 . ∴平面 平面 ， ∴点 在平面 的射影在线段 上， ∴ 为直线 与平面 所成的角，即 . 又∵ ，∴ 为等边三角形. ∵点 为 的中点，∴ . 又 ， ，∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴ . ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ . ∵ ， 平面 ， ∴ 平面 . （2）取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， . ∵ 为等边三角形，∴ . ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ . 又∵ ，∴ 平面 ， ∴ . ∵点 ， 分别为 和 的中点， ∴ ， ∴ 平面 ，∴ . ∴ ， ， 两两垂直， 故以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示空间直角坐标系. 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， ， ∴ ，解得 . 不妨设 ，则 . 由（1）可得 为平面 的一个法向量. 又∵ ， ∴ . 又∵二面角 的平面角为锐角， ∴二面角 的余弦值为 . 3．（湖北省2020-2021学年高三模拟）如图，在五面体 中，四边形 为矩形， 为等边三角形，且平面 平面 ， 和平面 所成的角为45°，且点 在平面 上的射影落在四边形 的中心，且 . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角(锐角)的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）连接 ，取 的中点分别为 ，得到 为四边形 的中心，证得 平面 ，根据结合面面垂直的性质，证得 平面 ，在结合线面平行的判定定理，即可证得 平面 ； （2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建系，分别求得平面 和平面 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解析】 （1）如图所示，连接 ，取 的中点分别为 ， 再连接 ，由正方形的性质，可得 为四边形 的中心， 因为点 在平面 上的射影落在四边形 的中心，所以 平面 ， 设 ，因为 和平面 所成的角为45°，所以 ， 因为 ，所以 ， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 所以 平面 ， ，则 ， ， 所以四边形 是平行四边形，所以 . 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）在平面 中，作 ， 如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ， 又因为平面 平面 ，所以 是平面 的一个法向量. 设平面 的法向量为 ， 因为 ，所以 ， 令 ，则解得 ，所以平面 的法向量为 . 记平面 与平面 所成的角为 ，可得 ， 所以平面 与平面 所成角(锐角)的余弦值为 . 4．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）如图所示，已知直棱柱 的底面四边形是菱形，