专题15 概率与统计解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题15 概率与统计解答题 1．（福建省泉州市2021届高三联考）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. 附： ， 0.05 0.01 3.841 6.635 （1）根据已知条件完成下面的 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 （3）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为 .若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，期望 和方差 . 【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望： ，方差： . 【分析】 (1)根据频率分布直方图读取数据，完成2×2列联表,直接套公式求出 ,对照参数下结论; (2)分析出随机变量 ，套公式易求出 的分布列、期望与方差.. 【解析】 （1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成 列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 列联表中的数据代入公式计算，得 . 因为 ，所以没有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关. （2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 . 由题意 ，从而 的分布列为 0 1 2 3 所以 ， . 2．（福建省漳州市2021届高三质量检测）为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为 ，答错的概率为 . （1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为 ，求 的分布列及数学期望； （2）若甲在回答过程中出现在第 个等级的概率为 ，证明： 为等比数列. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先确定 的所有可能取值 ，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望； （2）根据已知的关系，求出 与 ， 的关系式 ，再通过化简和等比数列的定义求解即可. 【解析】 解：（1）依题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 则 的分布列如表所示. 5 6 7 8 9 10 . （2）处于第 个等级有两种情况： 由第 等级到第 等级，其概率为 ； 由第 等级到第 等级，其概率为 ； 所以 ，所以 ， 即 . 所以数列 为等比数列. 3．（湖北省2020-2021学年高三模拟）全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化､极端气候的出现､生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难.某大学以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份知识问卷，并邀请40名同学(男女各占一半)参与问卷的答题比赛，将同学随机分成20组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后20组同学得分如下表： 组别号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男同学得分 4 5 6 4 5 5 4 4 5 5 女同学得分 3 4 5 5 5 4 5 5 5 3 组别号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 男同学得分 4 4 4 4 4 4 5 5 4 3 女同学得分 5 5 4 5 4 3 5 3 4 5 （1）完成下列 列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关： 男同学 女同学 总计 该次比赛得满分 该次比赛未得满分 总计 （2）随机变量 表示每组男生分数与女生分数的差，求 的分布列与数学期望. 参考公式和数据： ， . 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表答案见解析，没有90%的把握认为“该次大赛是否得满分”与“性别”有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：0. 【分