专题14 三角函数与解三角形解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题14 三角函数与解三角形解答题 1．（福建省泉州市2021届高三联考）在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，___________， ， ，求 的面积. 【答案】条件选择见解析； 的面积为 . 【分析】 选择①，用余弦定理求得 角，选择②，用正弦定理化边为角后求得 角，选择③用两角和的正弦公式变形后求得 角，然后利用正弦定理求得 ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得 ，最后由面积公式计算出面积． 【解析】解：（1）若选择①， 由余弦定理， ， 因为 ，所以 ； 由正弦定理 ，得 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 所以 . （2）若选择② ，则 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ； 由正弦定理 ，得 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 . （3）若选择③ ， 则 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ； 由正弦定理 ，得 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 . 2．（福建省漳州市2021届高三质量检测） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . （1）若 ，求 面积的最大值； （2）若 为 边上一点， ， ，且 ，求 . 【答案】（1）最大值为 ；（2） . 【分析】 （1）根据正弦定理求出角 ，再根据余弦定理及基本不等式求出 的最大值，即可确定三角形的面积的最大值；（2）首先求出 ，再求出 ，再在 中利用正弦定理即可求出 的长. 【解析】（1）根据 及正弦定理，可得 ， 即 ， 可得 . ， . ， . 根据余弦定理可得 ， ，当且仅当 时等号成立， 的面积为 ， 的面积的最大值为 . （2）由 可得 ， ， ， . 在 中，利用正弦定理可得 ， 即 ，解得 . 3．（湖北省2020-2021学年高三模拟）在 中，设 所对的边分别为 ， ， ， . （1）求 的值； （2）已知 分别在边 上，且 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） ， ；（2）最大值 . 【分析】 （1）首先求出 ，再利用正弦定理求出 ，即可得解； （2）由 ，求出 ，再由正弦定理求出 ，即可得到 ，再由 利用基本不等式计算可得； 【解析】解：（1）因为 ， ，所以 ， ， 由正弦定理， 可化为 ，即 解得 ， 所以 ， ； （2） ， ，解得 . 因为 ，所以 ， 的面积 ，当且仅当 时，取得最大值. 4．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）在 中， 且 ， ， 均为整数. （1）求 的大小； （2）设 的中点为 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1） ， 不能是钝角，且若 ，与 矛盾，可得 ； （2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及 ， 均为整数，可得 ，再利用正弦定理结合平面向量求出 ，进而得出答案． 【解析】（1） ， 不能是钝角， 若 ， ，且 在 内单调递增， 又 ， 都大于 ，与 矛盾 ，即 （2） ， 又 ，即 由 ， 均为整数，且 ，可得 则 ； 由正弦定理 ，可得 又 的中点为 ，则 ， 即 即 解得 ，故 5．（湖北省武汉2020-2021学年高三质检）在① ，② EMBED Equation.DSMT4 ，③ 三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题.在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，设 的面积为 ，已知________. （1）求角 的值； （2）若 ，点 在边 上， 为 的平分线， 的面积为 ，求边长 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）如选①：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识整理可求得 ，进而得到结果； 如选②：利用三角形面积公式和余弦定理可化简求得 ，进而得到结果； 如选③：利用二倍角公式和辅助角公式可化简求得 ，根据 的范围可求得结果； （2）利用 可构造关于 和 的方程；利用 面积可构造关于 和 的方程，解方程组可求得 . 【解析】（1）如选①：由正弦定理得： ， ， ， ， 整理得： ， 又 ， ， ， ， . 如选②： ， ， ， ， . 如选③： ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ，解得： . （2）在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 …① 又 …② 由①②得： ，解得： 或 （舍） 边长 的值为 . 6．（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）在 中， ，___________. （1）求 ； （2）若 ，求 . 从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分) 【答案】条件选择见解析；（1） ；（2）答案见解析. 【分析】 （1）直接利用正弦定理，对 用和差角