专题13 数列解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题13 数列解答题 1．（福建省泉州市2021届高三联考）在各项均不相等的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前n项和 ． （1）求数列 、 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n项和 ． 【答案】（1） ， ；（2） 【分析】 （1）设数列 的公差为d，由 ， ， 成等比数列，列式解得 （舍去）或 ，进而得 ；再由数列 的前n项和 ，得 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，且 ，进而得 ； （2）由（1）得 ，利用分组求数列 的前n项和 即可. 【解析】（1）设数列 的公差为d，则 ， ，∵ ， ， 成等比数列， ，即 ， 整理得 ，解得 （舍去）或 ， . 当 时， ， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 ． 验：当 时， 满足上式，∴数列 的通项公式为 ． （2）由（1）得， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 2．（福建省漳州市2021届高三质量检测）已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）若等差数列 满足 ，求 ， 的通项公式； （2）若 ___________，求数列 的前 项和 . 在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解. 注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分. 【答案】（1） ， ；（2）答案见解析. 【分析】 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式求出 和 ，得到数列 的通项公式，再求出对应等差数列 的前两项和公差，即可得数列 的通项公式；（2）根据已知条件进行整理，得出数列 的通项公式，进而利用裂项相消法即可求解. 【解析】（1）设数列 的公比为 ，则 . ， ，解得： 或 ， 又因为各项均为正数， 所以 ， 又 ， ， 代入 得 ， ， ， 则 ， ， 设数列 的公差为 ， ∴ ， 则 . （2）选择①： ， ， 则 ， EMBED Equation.DSMT4 . 选择②： ， ， 则 ， ， . 选择③： 由（1）知 ， . ， EMBED Equation.DSMT4 . 3．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）已知 是关于 的方程 的实数根，记 ，其中 表示不超过 的最大整数且 若. 恒成立，求： （1）数列 的通项公式； （2）数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）先令 ，根据所给方程，得到 ，构造函数 ，确定 ，再讨论 为奇数和 为偶数两种情况，结合题中条件，即可求出数列的通项； （2）根据（1）的结果，讨论 为奇数和 为偶数两种情况，利用分组求和的方法，结合等差数列的求和公式，即可求出结果. 【解析】（1）因为 是关于 的方程 的实数根，令 ，则 ， 所以 ， 记 ，显然 单调递增，且 ， ， 所以 ， 当 时， ，则 ； 当 时， ，则 ； 综上， ； （2）由（1）可得， ， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 ； 当 时， EMBED Equation.DSMT4 ； 综上， . 4．（湖北省武汉2020-2021学年高三质检）已知 等差差列，a1=2，a3=6. （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前10项和T10. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）利用已知条件解方程得到基本量 ，再利用公式写通项公式即可； （2）先代入化简，分类讨论去绝对值，再列举前10项计算求和即可. 【解析】解：（1）设等差数列 的公差为 ，由条件得 ，解得 ， 故 ； （2）由（1）可知 ，其中 ， 故 的前10项和 EMBED Equation.DSMT4 . 5．（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）已知 ，数列 前 项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式 ； （2）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，且对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）易知 ，再利用通项与前n项和关系 求解. （2）易得 ， ， ， 时， ，则 的最小值为 ，再根据对于任意 ，总存在 ，使得 成立，由 求解. 【解析】（1）因为 ， ， 所以 ， 当 时， ， ， 当 时， ，也满足 ， 故 . （2）因为 ， ， 所以 ， ， ， 当 时， ， 故 为 的最小值， 的最小值为 ， 因为对于任意 ，总存在 ，使得 成立， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ， 时， ，显然不成立. 故实数 的取值范围为 . 6．（湖北省九师联盟2021届高三联考）在① ，② ③ 这三个条件中任选一个，补充在下