专题09 不等式-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题09 不等式 1．（福建省漳州市2021届高三质量检测）若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．90 B．100 C．118 D．150 【答案】C 【分析】 作出不等式组表示的平面区域可得答案. 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数 可转化为直线 ，由图可知当直线经过点 时， 取得最大值，联立 ，解得点 ，所以 ， 故选：C. 2．（湖北省2020-2021学年高三模拟）已知正数 是关于 的方程 的两根，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】 由一元二次方程的根与系数的关系，求得 ，化简 ，结合基本不等式，即可求解. 【解析】由题意，正数 是关于 的方程 的两根， 可得 ， 则 ，当且仅当 时，即 时等号成立， 经检验知当 时，方程 有两个正实数解. 所以 的最小值为 . 故选：C. 3．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）已知 在 则实数 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】 利用特殊值判断各个选项，可得出答案. 【解析】首先，原式中有 ，所以 无意义，题目错误； 其次，若四个选项改为不含0的开区间时， 利用特殊值法， 取 ，则不等式可化为 ，即 ， 当 时，不等式成立，故排除选项AB； 取 时，代入 ，即 ，正确，故CD不满足. 故无正确答案. 4．（湖北省武汉2020-2021学年高三质检）已知 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】 利用均值不等式和作差法对选项就进行逐一验证得出答案. 【解析】由 ，且 ，则 选项A. 当且仅当 ，即 时取等号. 故A正确. 选项B. , 所以 成立，故B正确. 选项C. ,当且仅当 时等号成立，故C正确. 选项D. 当且仅当 时等号成立，故D正确. 故选：ABCD 5．（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）设 ， ， ，若 ， ，则 的最大值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】 先利用指、对数的关系把x、y分离出来，再转化为基本不等式求最值. 【解析】解：∵ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 当且仅当 时取等号. ∴ 的最大值为1. 故选：C. 6．（湖北省宜昌市2020-2021学年高三联考）已知 ， ，直线 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】 首先根据两直线垂直，得 ，再利用基本不等式求 的最小值. 【解析】 ， ， ， ， 当 时，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 . 故选：A 7．（江苏省启东市2020-2021学年高三模拟）已知 ， ， ，下列结论正确的是（ ） A． 的最小值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】BD 【分析】 利用基本不等式可判断AD选项的正误；利用基本不等式与对数的运算性质可判断B选项的正误；将 与 相乘，展开后利用基本不等式求出 的最小值，可判断C选项的正误. 【解析】已知 ， ， . 对于A选项， EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为 ，A选项错误； 对于B选项，由基本不等式可得 ，可得 ， 所以， ，当且仅当 时，等号成立， 所以， 的最大值为 ，B选项正确； 对于C选项， ， 当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为 ，C选项错误； 对于D选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为 ，D选项正确. 故选：BD. 8．（江苏省无锡市2021届高三质量检测）已知函数 在定义域上单调递增，且关于x的方程 恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D．(0，1) 【答案】C 【分析】 由 递增，先求出 的范围，再根据 恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小范围. 【解析】 在定义域上单调增，∴ ，∴ ， ∵ 在 处切线为 ，即 ， 又 故 与 没有公共点 ∴ 与 有且仅有一个公共点且为 ∴ 在 处的切线的斜率必须大于等于1， ， ，∴ ，∴ ， 综上： 故选：C. 9．（山东省青岛市2020-2021学年高三模拟）“ ”的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 要使得 成立，只需求出 的最小值即可，结合充要条件的定义，即可求解. 【解析】因为 ，可得 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 因为 ，所以 ， 所以“ ” 的充要条件是 . 故选：D. 10．（山东省泰安市2020-2021学年高三模拟）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两