专题08 数列-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题08 数列 1．（福建省漳州市2021届高三质量检测）在数列 中， 和 是关于 的一元二次方程 的两个根，下列说法正确的是（ ） A．实数 的取值范围是 或 B．若数列 为等差数列，则数列 的前7项和为 C．若数列 为等比数列且 ，则 D．若数列 为等比数列且 ，则 的最小值为4 【答案】AD 【分析】 对A，由判别式即可判断；对B，先利用韦达定理得出 ，再利用等差数列的性质以及前 项和公式即可求解；对C，先利用韦达定理得到 ，再根据等比数列的性质即可求解；对D，利用基本不等式即可求出 的最小值. 【解析】对A， 有两个根， ， 解得： 或 ，故A正确； 对B，若数列 为等差数列， 和 是关于 的一元二次方程 的两个根， ， 则 ，故B错误； 对C，若数列 为等比数列且 ，由韦达定理得： ， 可得： ， ， ， 由等比数列的性质得： ， 即 ，故C错误； 对D，由C可知： ，且 ， ， ，当且仅当 时，等号成立，故D正确. 故选AD. 2．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）已知数列 的首项 且满足 ，其中 ，则下列说法中正确的是（ ） A．当 时，有 恒成立 B．当 时，有 恒成立 C．当 时，有 恒成立 D．当 时，有 恒成立 【答案】AC 【分析】 题设中的递推关系等价为 ，根据首项可找到 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【解析】 因为 ，故 ， 当 即 时， ， ， ，故 为周期数列且 ，故A正确. 当 即 时， ，同理 ， ， ， ， ，故 ，故B错误. 当 即 时，根据等比数列的通项公式可有 ， ， ， ，故D错误. 对于C，当 时，数列 的前108项依次为： ， ， ， ， ， ， 故 ， ， ， ， ， 所以 对任意 总成立. （备注：因为本题为多选题，因此根据A正确，BD错误可判断出C必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 3．（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）定义：在数列 中，若满足 （ ， 为常数），称 为“等差比数列”。已知在“等差比数列” 中， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用定义，可得 是以1为首项，2为公差的等差数列，从而 ，利用 ，可得结论． 【解析】 ， ， ， 是以1为首项，2为公差的等差数列， ， ． 故选：C. 4．（湖南省常德市2021届高三模拟）对任一实数序列 ，定义序列 ，它的第 项为 .假定序列 的所有项都为1，且 ，则 （ ） A．1000 B．2000 C．2003 D．4006 【答案】D 【分析】 是公差为 的等差数列，可先设出 的首项，然后表示出 的通项，再用累加法表示出序列 的通项，再结合 求出 的首项和 的首项，从而求出序列 的通项公式，进而获解. 【解析】 依题意知 是公差为 的等差数列,设其首项为 ,通项为 ， 则 ，于是 由于 ,即 ,解得 .故 . 故选：D 5．（湖南省衡阳市2020-2021学年高三模拟）数列 满足 ，对任意 的都有 ，则 （ ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】B 【分析】 由已知得 ，利用累加法即可得结果. 【解析】 对任意 的都有 ，则 ， ， 故选：B. 6．（湖南省衡阳市2020-2021学年高三模拟）已知等差数列 的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A．a1=22 B．d=－2 C．当n=10或n=11时，Sn取得最大值 D．当Sn>0时，n的最大值为20 【答案】BCD 【分析】 由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项 和 ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【解析】 等差数列 的前 项和为 ，公差 ， 由 ，可得 ，即 ，① 由 是 与 的等比中项，可得 ，即 ， 化为 ，② 由①②解得 ， ， 则 ， ， 由 ，可得 或11时， 取得最大值110； 由 ，可得 ，即 的最大值为20． 故选：BCD 7．（江苏省南通市2020-2021学年高三模拟）已知数列 的通项公式为 ， ，下列仍是数列 中的项的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 根据 的通项公式依次计算判断即可. 【解析】 对A， ，可得 不是 中的项，故A错误； 对B， ，可得 不是 中的项，故B错误； 对C， ，可得 是 中的第 项，故C正确； 对D， ，可得 是 中的第 项，故D正确. 故选：CD. 8．（江苏省无锡市2021届高三质量检测）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各