专题04 立体几何-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题04 立体几何 1．（福建省泉州市2021届高三联考）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心， 如图： 则其外接球的半径为 球的表面积为 ； 故选B． 2．（福建省泉州市2021届高三联考）如图,正方形 中, 分别是 的中点将 分别沿 折起,使 重合于点 .则下列结论正确的是（ ） A． B．平面 C．二面角 的余弦值为 D．点 在平面 上的投影是 的外心 【答案】ABC 【分析】 对于A选项，只需取EF中点H，证明 平面 ；对于B选项，知 三线两两垂直，可知正确；对于C选项，通过余弦定理计算可判断；对于D选项，由于 ，可判断正误. 【解析】 对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知 和 为等腰三角形，故 , ，所以 平面 ，所以 ，故A正确；根据折起前后，可知 三线两两垂直，于是可证平面 ，故B正确；根据A选项可知 为二面角 的平面角，设正方形边长为2，因此 ， ， ， ，由余弦定理得： ，故C正确；由于 ，故点 在平面 上的投影不是 的外心，即D错误；故答案为ABC. 3．（福建省漳州市2021届高三质量检测）已知在正三棱锥 中， ， ，点 为 的中点，下面结论正确的有（ ） A． B．平面 平面 C． 与平面 所成的角的余弦值为 D．三棱锥 的外接球的半径为 【答案】AB 【分析】 连接 ， ，证得 平面 ，平面 平面 ，可判断AB，由面面垂直得 为 与平面 所成的角，计算可判断C，取 的重心为 ，连接 ，设外接球的球心为 ， 在 上，半径为 ，连接 ，利用勾股定理求得 后判断D． 【解析】 如图，连接 ， ，易得 ， ，∵ ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面 平面 ，同样∵ 平面 ，∴ ，同理 ，故选项A，B正确； 由平面 平面 知 为 与平面 所成的角.在 中， ， ，根据余弦定理得 ，故选项C错误； 取 的重心为 ，连接 ，设外接球的球心为 ，半径为 ，连接 ， ，在 中，可得 ，解得 ，故选项D错误， 故选：AB. 4．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）现有一个三棱锥形状的工艺品 ，点 在底面 的投影为 ，满足 ， ， ，若要将此工艺品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 作 ，连接PM，易证 ，由 ,得到 ，再根据 ，由对称性得到 ，然后根据 ， ，求得 ，在 中，由 求解半径即可. 【解析】 如图所示： 作 与M，连接PM， 因为 平面ABC， 所以 ，又 ， 所以 平面PQM， 所以 ， 所以 , , 因为 ， 由对称性得 , 又因为 ， ， 所以 ， 解得 ， 所以 ， 设外接球的半径为r， 在 中， ，即 ， 解得 ， 所以外接球的表面积为 ， 即该球形容器的表面积的最小值为 . 故选：D 5．（湖北省武汉2020-2021学年高三质检）已知三棱锥 的各个顶点都在球 的表面上， 底面 ， ， ， ， 是线段 上一点，且 .过点 作球 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为 ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 将三棱锥 补成长方体 ，设 ，计算出球 的半径为 ，计算出截面圆半径的最大值和最小值，根据已知条件可求得 的值，可求得球 的半径，进而可求得球 的表面积. 【解析】 平面 ， ，将三棱锥 补成长方体 ，如下图所示： 设 ，连接 、 、 ，可知点 为 的中点， 因为四边形 为矩形， ，则 为 的中点，所以， 且 ， 设 ，且 ， ， 所以，球 的半径为 ， 在 中， ， ， ， ， 在 中， ， ， 由余弦定理可得 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，则 ， ， ， 设过点 的球 的截面圆的半径为 ，设球心 到截面圆的距离为 ，设 与截面圆所在平面所成的角为 ，则 . 当 时，即截面圆过球心 时， 取最小值，此时 取最大值，即 ； 当 时，即 与截面圆所在平面垂直时， 取最大值，即 ， 此时， 取最小值，即 . 由题意可得 ， ，解得 . 所以， ， 因此，球 的表面积为 . 故选：B. 6．（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）如图正方体 的棱长为2，线段 ，上有两个动点E，F，且 ，则下列结论中正确的是（ ） A． B． 平面 C．三棱锥 的体积为 D． 的面积与 的面积相等 【答案】ABC 【分析】 连结 ，则 平面 ， ，点 ､ 到直线 的距离不相等，由此能求出结果． 【解析】 解：如图所示： 连结 ，则 平面 ， ， ， 平面