专题03 导数及其应用-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第三期•3月）

专题03 导数及其应用 1．（江苏省连云港市2021届高三调研）定义方程 的实数根 叫作函数 的“保值点”.如果函数 与函数 的“保值点”分别为 ， ，那么 和 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】 根据新定义，求出 的根即可，然后进行大小比较． 【解析】 由题可得： ， 所以 ， ， 假设 ， 则 ， 所以 ， 与 矛盾， 故 ，故 ， 故选：B 2．（福建省漳州市2021届高三质量检测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意构造新函数 ，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 【解析】 由题可设 ， ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， ， 将不等式 转化为 ， 可得 ，即 ， 有 ，故得 ，所以不等式 的解集为 ， 故选：D. 3．（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）已知函数 ，若关于方程 恰好有4个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求得 的导数，可得单调区间和极值，作出 的图象，将方程 因式分解为 ，则 或 ，从而 有3个实数根，即函数 与 有3个交点，数形结合即可得到 的取值范围，从而得解； 【解析】函数 的导数为 ， 当 时， ， 递增； 当 或 时， ， 递减， 可得 在 处取得极小值0， 在 处取得极大值 ， 作出 的图象如下所示， 因为 恰好有4个不相等的实根，所以 ，解得 或 ，当 时，有 个实数解， 所以 应有 个实数根，即函数 与 有3个交点， 所以 ，即 故选：D 4．（湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测）已知函数 ， ，其中 ，则下列说法中正确的是（ ） A．若 只有一个零点，则 B．若 只有一个零点，则 恒成立 C．若 只有两个零点，则 D．若 有且只有一个极值点 ，则 恒成立 【答案】ABD 【分析】 利用 以及零点存在定理推导出当 时，函数 在 上至少有两个零点，结合图象可知当 时，函数 在 上有且只有一个极值点，利用导数分析函数 在 上的单调性，可判断A选项的正误；利用A选项中的结论可判断B选项的正误；取 ，解方程 可判断C选项的正误；分析出当 在 上只有一个极值点时， ，分 、 、 三种情况讨论，结合 可判断D选项的正误. 【解析】 构造函数 ，其中 ，则 . 当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，此时，函数 单调递增. 所以， . ， 且 . ，则 . 当 时， ， ， 由零点存在定理可知，函数 在 内至少有一个零点， 所以，当 时，函数 在区间 上至少有两个零点， 所以，当函数 在区间 上只有一个零点时， . 对于A选项，当 时， . ，则 ， ， ， ， 由零点存在定理可知，函数 在区间 上至少有一个极值点， 令 ，可得 ， 当 时， ，由 ，可得 ，解得 ， 所以，函数 在区间 上有且只有一个极值点 . 作出函数 与函数 在区间 上的图象如下图所示： 由图象可知，函数 与函数 在区间 上的图象有且只有一个交点， 记该交点的横坐标为 ，当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 . 所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 所以， ，又 . 若函数 在区间 上有且只有一个零点，则 . ，则 ，所以， ，解得 ，A选项正确； 对于B选项，若函数 在区间 上有且只有一个零点时， 由A选项可知，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. ， ，所以，对任意的 ， ，B选项正确； 对于C选项，取 ，则 ， ，则 ，令 ，可得 或 ，可得 或 ， 解得 或 . 所以，当 时，函数 有两个零点，C选项错误； 对于D选项，当 时，若 ，则 ，且 ， 当 时，令 ，可得出 ，至少可得出 或 ， 即函数 在区间 上至少有两个极值点，不合乎题意，所以， . 下面证明：当 时， ， 构造函数 ，其中 ，则 ， 所以，函数 在区间 上为增函数，所以， ，即 . 分以下三种情况来证明 恒成立. ，可得 ， ，由 可得出 ，所以， . 则 . ①当 时， ，则 ， ， 即 成立； ②当 时， ， 则 ； ③当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 综上所述，当函数 只有一个极值点 时， 恒成立. 故选：ABD. 5．（湖南省常德市2021届高三模拟）若 则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造函数 ，求导 ，得出函数 的单调性，从而得 ，再由已知得 ，两边取自然对数可得选项． 【解析】 由函数 ， ， 所以 时， ，函数 单调递增， 时