专题06 一次函数（知识点串讲）-2020-2021学年八年级数学下册期中期末考点大串讲（华东师大版）

专题06 一次函数 知识框架 重难突破 一、正比例函数的概念、图象和性质 1、正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．正比例函数中自变量的取值范围是全体实数． 2、正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx． 图像如图： 3、正比例函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大．当x＜0时，y随x的增大而减小． 备注：　(1)正比例函数y＝kx，也可以说成y与x成正比例．要求函数关系式只需通过x，y的一组对应值求出k，从而确定关系式． (2)正比例函数的图象是过原点的直线．当k＞0时，直线从左到右呈上升趋势，经过第三、一象限；当k＜0时，直线从左到右呈下降趋势，经过第二、四象限．画正比例函数的图象时．只需选取除原点外的一点，过原点和选取点画直线即可，选取的点一般为点(1，k)． (3)正比例函数的性质也可以逆用．如当正比例函数y＝kx(k≠0)中y随x的增大而增大时，则k＞0，反之k＜0；再比如，正比例函数的图象过第一、三象限，则k＞0等． 二、一次函数的概念、图象和性质 1.一次函数的概念：一般地，形如 （ ， 是常数， ≠0）的函数，叫做一次函数. 备注：当 ＝0时， 即 ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数 ， 的要求，一次函数也被称为线性函数. 2.一次函数 （k、b为常数，且k≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1， ）的一条直线；一次函数图像可由正比例函数图像平移得到； 当 ＞0时，直线 是由直线 向上平移 个单位长度得到的； 当 ＜0时，直线 是由直线 向下平移| |个单位长度得到的. 一次函数 图象和性质如下： 备注：(1)一次函数的关系式是关于自变量的一次关系式，要确定一次函数关系式，只需确定k，b． (2)一次函数的图象是一条直线，要画出图象只需确定图象上的两点，这两点一般选与x轴、y轴的交点 ，(0，b)，过这两点画直线即可． (3)直线y＝kx+b也可以看做是把直线y＝kx向上(b＞0)或向下(b＜0时)平移 个单位得到的． 3. k、b对一次函数 的图象和性质的影响： 决定直线 从左向右的趋势， 决定它与 轴交点的位置， 、 一起决定直线 经过的象限． 备注：（1）由k，b的符号可以确定直线y＝kx＋b的位置．反过来，由直线y＝kx＋b的位置也可以确定k，b的符号．这种数形结合的思想方法，是我们解决图象问题的重要方法．由k，b的符号也可以不通过画图象，直接判定直线的位置，k的符号决定直线的倾斜方向，b的符号决定直线与y轴交点的位置． (2) 的大小决定直线的倾斜程度，即 越大，直线与x轴相交成的锐角度数越大； 越小，直线与x轴相交成的锐角度数越小．b决定直线与y轴交点的位置，b＞0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴上；b＜0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴上． 4. 两条直线位置关系的确定： 两条直线： EMBED Equation.KSEE3 ：和 ： 的关系： （1） 与 相交； （2） ，且 与 平行； 备注：（1）直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的位置关系： 当k1＝k2，b1＝b2时，两直线重合． 当k1＝k2，b1≠b2时，两直线平行． 当k1≠k2，b1＝b2时，两直线相交于y轴上的一点(0，b1)． 当k1≠k2，b1≠b2时．两直线相交． 三、待定系数法 待定系数法是确定函数关系式的基本方法． 1、用待定系数法确定一次函数表达式的步骤 (1)设出函数关系式的一般形式y＝kx＋b． (2)把自变量x与函数y的对应值代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程或方程组． (3)求出待定系数． (4)写出函数关系式． 备注：确定实际问题中一次函数关系式时，首先要将实际问题转化为数学问题，即建立数学模型，其次是建立函数与自变量之间的关系式，要注意确定自变量的取值范围． 例1．（2020·成都嘉祥外国语学校成华校区八年级期中）若函数 是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（　　） A．±2 B．﹣2 C． D． 练习1．（2020·成都嘉祥外国语学校成华校区八年级期中）若y＝（k﹣1） +k+1是关于x的正比例函数，则k＝_____． 例2．（2018·四川宜宾市·八年级期中）若函数 是正比例函数，则a=_______，图像过__________象限. 练习1．（2018·四川成都市·八年级期中