6.4.1—6.4.2平面几何中的向量方法；向量在物理中的应用举例-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第二册）

6.4.1—6.4.2平面几何中的向量方法；向量在物理中的应用举例 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·全国高一专题练习）一条河的宽度为，一只船从处出发到河的正对岸处，船速为，水速为，则船行到处时，行驶速度的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图所示，由平行四边形法则和解直角三角形的知识， 可得船行驶的速度大小为. 故选：D. 2．（2021·横峰中学高二开学考试（理））如图，是单位圆的直径，且满足，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，由已知得， 因为是直径，所以， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以，， 又因为， 所以. 故选：B. 3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】 ∵, ∴， ∴, ∴的中线和底边垂直， ∴是等腰三角形． 故选：A. 4．（2020·辽宁高三月考）已知是内的一点，且，若和 的面积分别为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以 故选B． 5．（2020·佛山市顺德区乐从中学高三专题练习）已知的外接圆的的圆心是M，若，则P是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】 如图，、分别是、的中点，连，，，则有，而， ∴，即有，有与共线， ∵的外接圆的的圆心是M，有，则，同理有，， ∴P是的垂心. 故选：D. 6．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在边长为2的正三角形中，D，E分别为边，上的动点，且满足 （m为定常数，且），若的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：以中点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系， 因为正三角形边长为2，所以，，， 则，， 因为为边上的动点，所以设，其中， 则，所以； 又，所以，因此， 所以，， 故 ， 因为，所以，又， 所以当且仅当时，取得最大值， 即，整理得，解得或（舍）； 故选：A. 7．（2020·全国高三专题练习）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（ ）个． A．2 B．4 C．6 D．0 【答案】B 【详解】 以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则， （1）若P在CD上，设， ， ， ， 当时有一解，当时有两解； （2）若P在AD上，设， ， ， ， 当或时有一解，当时有两解； （3）若在上，设， ， ， ， 当或时有一解，当时有两解； （4）若在上，设， ， ， ，， 当或时有一解，当时有两解， 综上可知当时，有且只有4个不同的点使得成立. 故选：B. 8．（2020·全国高三专题练习（理））一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　) A．24 J B．24J C．24J D．24J 【答案】D 【解析】 如图，建立直角坐标系， 则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)， 则F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4). 又位移s=(4，4)， 故合力F所做的功为W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J). 选D. 2、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 9．（2020·全国高一课时练习）设平面上有四个互异的点，若，则的形状一定是_______. 【答案】等腰三角形 【详解】 ∵ ， ∴，∴为等腰三角形. 10．（2021·江苏高一）一条两岸平行的河流，水速为，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝____________的方向行驶. 【答案】与水速成角 【详解】 如图所示，为使小船所走路程最短，应与岸垂直， 又，，， 所以.所以小船应朝与水速成角的方向行驶. 故答案为：与水速成角. 11．（2020·全国高一课时练习）已知三个力，，，同时作用于某物体上