专题02 曲线的切线问题探究-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题02 曲线的切线问题探究 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率 ，求切点，即解方程 . 2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点． （1）已知切点求切线方程：①求出函数 在点 处的导数，即曲线 在点 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为 ． （2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)； 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步，将x1的值代入方程y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决． 4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）. 6.导数几何意义相关的综合问题． 【压轴典例】 例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是( ) A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】设点 ，则 .又 ，当 时， ，点A在曲线 上的切线为 ，即 ，代入点 ，得 ，即 ，考查函数 ，当 时， ，当 时， ，且 ，当 时， 单调递增，注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ，故点 的坐标为 . 例2.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为(　) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 【答案】B 【解析】因为f(x)=x4-2x3,所以f'(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f'(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1. 例3．（2020·江苏高三期中）（多选）在直角坐标系内，由 ， ， ， 四点所确定的“ 型函数”指的是三次函数 ，其图象过 ， 两点，且 的图像在点 处的切线经过点 ，在点 处的切线经过点 .若将由 ， ， ， 四点所确定的“ 型函数”记为 ，则下列选项正确的是（ ） A．曲线 在点 处的切线方程为 B． C．曲线 关于点 对称 D．当 时， 【答案】ABC 【详解】因为直线 的斜率为 ，所以 的方程为 ，即 ，所以A正确.因为 的图象过点 及 ，所以 有两个零点0，4，故可设 (其中 )，则 ，由 ， ，得 ， ，所以 ，故B正确.由选项B可知， ，所以曲线 关于点 对称，故C正确.当 时，有 ， ，所以 ，故D不正确. 例4．（2020·河北唐山高三）(多选)设点 是曲线 上的任意一点， 点处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围包含下列哪些（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为 ，故可得 ；设切线的倾斜角为 ，则 ，故可得 ， 例5．（2020·湖北武汉高三）已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则 的取值可以是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】CD 【详解】 ， ， 由已知得，过点 作曲线 的三条切线，情况如下：①点 在曲线上，故此时，切点为 ，把 点代入函数可得， ，利用切线公式得， ，所以，此时，切线为 轴，但此时，切线只有一条，不符题意； ②点 不在曲线上，故此时，设切点为 ，故切线经过 EMBED Equation.DSMT4 切线方程为： ，所以， ，又因为切点在曲线上，所以， ， 又因为切线的斜率为：联立方程得， ，化简得， ，令 ，即 有三个解，即 与 有三个交点，令 ，可得两极值点为 ， ；对于 ，在 和 时，单调递增，在 时单调递减，所以，当 时，因为 ， ，所以，当 时，满足 与 有三个交点，而 例6．（2020·梅河口市第五中学高三）已知函数 ，曲线 在点 处与点 处的切线均平行于 轴，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案