专题03 含参数单调性问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题03 含参数单调性问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置，特别是含参数问题，离不开函数单调性研究.本专题就含参数的函数单调性问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 2.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 3.讨论函数f(x)单调性的方法步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． 4.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围． (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间， 令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 【压轴典例】 例1.(2020·全国卷Ⅱ文科·T21)已知函数f(x)=2ln x+1. (1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围; (2)设a>0时,讨论函数g(x)=的单调性. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)≤2x+c⇒f(x)-2x-c≤0⇒ 2ln x+1-2x-c≤0(*),设h(x)=2ln x+1-2x-c(x>0),则有h'(x)=-2=, 当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-2×1-c=-1-c, 要想不等式(*)在(0,+∞)上恒成立,只需h(x)max≤0⇒-1-c≤0⇒c≥-1. (2)g(x)==(x>0且x≠a),因此g'(x)=, 设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),则有m'(x)=2(ln a-ln x), 当x>a时,ln x>ln a,所以m'(x)<0,m(x)单调递减, 因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x)<0,所以g(x)单调递减; 当0<x<a时,ln x<ln a,所以m'(x)>0,m(x)单调递增, 因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x)<0,所以g(x)单调递减, 所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上单调递减,没有递增区间. 例2.(2020·全国卷Ⅲ文科·T20)已知函数f(x)=x3-kx+k2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围. 【解析】(1)由题意得,f'(x)=3x2-k,当k≤0时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当k>0时,令f'(x)=0,得x=±,令f'(x)<0,得-<x<, 令f'(x)>0,得x<-或x>,所以f(x)在(-,)上单调递减, 在,上单调递增. (2)由(1)知,f(x)有三个零点,则k>0,且,即,解得0<k<, 当0<k<时,>,且f()=k2>0,所以f(x)在上有唯一一个零点, 同理-k-1<-,f(-k-1)=-k3-(k+1)2<0,所以f(x)在上有唯一一个零点, 又f(x)在上有唯一一个零点,所以f(x)有三个零点, 综上可知,k的取值范围为. 例3.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f=ex+x2-x,f'=ex+2x-1,由于f″=ex+2>0, 故f'单调递增,注意到f'=0, 故当x∈时,f'<0,f单调递减,当x∈时,f'>0,f单调递增. (2