专题04 应用导数研究函数的极（最）值-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题04 应用导数研究函数的极（最）值 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导数研究函数的极（最）值问题的主要命题角度有：已知函数求极值(点)、已知极值(点)，求参数的值或取值范围、利用导数研究函数的最值、函数极值与最值的综合问题.本专题就应用导数研究函数的极（最）值问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法. 一、函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值． (2)由函数极值求参数的值或范围． 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 二、函数最值的基本求法 1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a，b)内的极值； 第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； 第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 三、求解函数极值与最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小． (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 【压轴典例】 例1.(2020·天津高考·T20)已知函数f(x)=x3+kln x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数. (1)当k=6时, ①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; ②求函数g(x)=f(x)-f'(x)+的单调区间和极值; (2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有>. 【解析】(1)①当k=6时,f(x)=x3+6ln x,f'(x)=3x2+.可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8. ②依题意,g(x)=x3-3x2+6ln x+,x∈(0,+∞).从而可得g'(x)=3x2-6x+-, 整理可得:g'(x)=,令g'(x)=0,解得x=1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如表: x (0,1) 1 (1,+∞) g'(x) - 0 + g(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以,g(x)的减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值. (2)由f(x)=x3+kln x,得f'(x)=3x2+.对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,令=t(t>1), 则(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2(f(x1)-f(x2))=(x1-x2)-2 =--3x2+3x1+k-2kln =(t3-3t2+3t-1)+k.(ⅰ) 令h(x)=x--2ln x,x∈(1,+∞).当x>1时,h'(x)=1+-=>0, 由此可得h(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当t>1时,h(t)>h(1),即t--2ln t>0. 因为x2≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3, 所以(t3-3t2+3t-1)+k≥(t3-3t2+3t-1)-3=t3-3t2+6ln t+-1.(ⅱ) 由(1)②可知,当t>1时,g(t)>g(1),即t3-3t2+6ln t+>1,故t3-3t2+6ln t+-1>0.(ⅲ) 由(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)可得(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2(f(x1)-f(x2))>0. 所以,当k≥-3时,对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有>. 例2．（2021·江苏苏州市·高三）已知函数 ， （ 为常数） （1）求函数 在 处的切线方程; （2）设 ． （ⅰ）若 为偶数，当 时，函数 在区间 上有极值点，求实数 的取值范围; （ⅱ）若 为奇数，不等式 在 上恒成立，求实数 的最小值． 【答案】（1） ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ