专题05 应用导数研究不等式恒成立问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题05 应用导数研究不等式恒成立问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导数研究不等式恒成立问题的主要命题角度有：证明不等式恒成立、由不等式恒(能)成立求参数的范围、不等式存在性问题.本专题就应用导数研究不等式恒成立问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法---参变分离、数形结合、最值分析等. 一、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max； (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0. 二、不等式恒成立问题的求解策略 (1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a＞0，Δ＜0或a＜0，Δ＜0)求解． 三、不等式存在性问题的求解策略 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错． 【压轴典例】 例1．（2021·全国高三其他模拟）已知数列 满足 ， .若 恒成立，则实数 的最大值是（ ）(选项中 为自然对数的底数，大约为 ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 ，设 ， ， 在 单调递减，在 单调递增，故 ，则 ，所以 ， ，由 得 易得 ，记 ，所以 ，记 ， ，当 即 得 时 单调递增，当 即 得 时 单调递减，所以 ，得 ， 例2．（2021·浙江嘉兴市·高三）已知函数 ，其中 ．若对于某个 ，有且仅有3个不同取值的 ，使得关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】显然 ，否则 ，于是 ，即 ，这与不等式的解集为 矛盾．又易知 时，不等式 恒成立．于是仅需再分析 的情形．易知 ，由 知 或 ，所以 ．所以原问题等价于关于 的方程 有两解，设 ，则 ， 时， ， 递减， 时， ， 递增，所以 ， 时， ， 时， ，所以由关于 的方程 有两解，得 ，所以 ． 例3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a. (1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)≥1,求a的取值范围. 【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-. (1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为,2,因此所求三角形的面积为. (2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1不满足条件;当a=1时,f(x)=ex-1-ln x,f'(x)=ex-1-.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.所以a=1满足条件;当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞). 例4.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f=ex+x2-x,f'=ex+2x-1,由于f″=ex+2>0, 故f'单调递增,注意到f'=0, 故当x∈时,f'<0,f单调递减,当x∈时,f'>0,f单调递增. (2)由f≥x3+1得,ex+ax2-x≥x3+1,其中x≥0, ①当x=0时,不等式为:1≥1,显然成立,符合题意; ②当x>0时,分离参数a得,a≥-,记g=-,g'=-, 令h=ex-x2-x-1,则h'=ex-x-1,h″=ex-1≥0, 故