专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，函数、导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数与数列的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.数列不等式问题，通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围.如 2.涉及等差数列的求和公式问题，应用二次函数图象和性质求解. 3.涉及数列的求和问题，往往要利用“错位相减法”、“裂项相消法”等，先求和、再构造函数. 【压轴典例】 例1.(2020·全国卷Ⅱ理科·T21)已知函数f(x)=sin2xsin 2x. (1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性; (2)证明:|f(x)|≤; (3)设n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤. 【解析】(1)由函数的解析式可得f(x)=2sin 3xcos x,则:f'(x)=2(3sin 2xcos 2x-sin 4x) =2sin 2x(3cos 2x-sin 2x)=2sin 2x(4cos 2x-1)=2sin 2x(2cos x+1)(2cos x-1), f'(x)=0在x∈(0,π)上的根为:x1=,x2=,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增. (2)注意到f(x+π)=sin 2(x+π)sin =sin 2xsin 2x=f(x),故函数f(x)是周期为π的函数,结合(1)的结论,计算可得:f(0)=f(π)=0,f=×=, f=×=-,据此可得:f(x)max=,f(x)min=-,即|f(x)|≤. (3)结合(2)的结论有:sin 2xsin 22xsin 24x…sin 22nx= =[sin x(sin 2xsin 2x)(sin 22xsin 4x)…(sin 22n-1xsin 2nx)sin 22nx ≤≤=. 例2.(2020·浙江高考·T22)已知1<a≤2,函数f(x)=ex-x-a,其中e=2.718 28…为自然对数的底数. (Ⅰ)证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点; (Ⅱ)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明: (ⅰ)≤x0≤; (ⅱ)x0f()≥(e-1)(a-1)a. 【解析】(Ⅰ)当x∈(0,+∞)时,f'(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,由于f(0)=1-a<0, f(2)=e2-2-a≥e2-4>0,f(0)f(2)<0, 则y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点. (Ⅱ)(ⅰ)由于f(x)单调递增,1<a≤2.设x0的最大值为t,则et=2+t.由f(1)=e-1-2<0,则t>1.右边:由于x≥0时,ex≥1+x+x2,且-x0-a=0,则a≥1+⇒x0≤.左边:要证明≥a-1=-x0-1,只需证明--x0-1≤0.记h(x)= ex-1-x-x2(0≤x≤t),则h'(x)=ex-1-2x, h″(x)=ex-2,于是h'(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增.于是h'(x)=ex-1-2x≤max{h'(0),h'(t)}=0, 则h(x)在0≤x≤t上单调递减.h(x)=ex-1-x-x2≤h(0)=0,得证. (ⅱ)要证明x0f()≥(e-1)(a-1)a,只需证:x0f(x0+a)≥(e-1)(a-1)a. 由于(xf(x+a))'= f(x+a)+xf'(x+a)>f(x+a)>f(a)=ea-2a≥1-a+>0, 则x0f(x0+a)≥f(+a),只需要证明:f(+a)≥(e-1)a, 即--2a≥(e-1)a.由ex≥1+x+x2,只需证:1+(+a)2-a≥(e-1)a⇔a2-()2-2(e-2)a≥0,只需证-≥2(e-2), 由于=+∈[2,+∞),则-≥2-=≥2(e-2). 综上所述,得证. 例3.(2020·天津高考·T20)已知函数f(x)=x3+kln x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数. (1)当k=6时, ①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; ②求函数g(x)=f(x)-f'(x)+的单调区间和极值; (2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有>. 【解析】(1)①当k=6时,f(x)=x3+6ln x,f'(x)=3x2+.可得f(1)=1,f'(1