湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期入学自主检测数学试题

湖南师大附中2020-2021学年度高一第二学期入学自主检测 数学 时量：20分钟 满分：50分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 【答案】C 2. 设 ， ， ，则 ， ， 大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3. 函数 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 4. 已知函数 ，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5. 关于 的方程 ，有下列四个命题：甲： 是该方程的根；乙： 是该方程的根；丙：该方程两根之和为 ；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 6. 若实数 满足 ，则 的最小值为 A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 7. 若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 8. 已知函数 的定义域为 ，下列是 无最大值的充分条件是（ ） A. 为偶函数且关于直线 对称 B. 为偶函数且关于点 对称 C. 为奇函数且关于直线 对称 D. 为奇函数且关于点 对称 【答案】D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 10. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是 B. 已知命题 ：“ ，都有 ”，则命题 的否定：“ ，都有 ” C. 若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 D. 若函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 和 ，则 【答案】ACD 11. 已知函数 的图象关于直线 对称，则（ ） A. 函数 为奇函数 B. 函数 上单调递增 C. 若 ，则 的最小值为 D. 函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象 【答案】AC 12. 已知 ， ， ，则 的值可能是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知 ， ，则 __________． 【答案】 14. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， .则 时， ______. 【答案】 15. 已知函数f(x)＝sin ωx＋ cos ωx(ω>0)， ，且f(x)在区间 上递减，则ω＝________. 【答案】2 16. 设函数 ①若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是______. ②若函数 为 上的单调函数，则实数 的取值范围是______. 【答案】 (1). (2). 或 四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 . （1）求使 的 最小值； （2）若对任意 ， 有意义，求实数 的取值范围. 【答案】（1）7；（2） . 18. 已知函数f(x)＝sin sin x－ cos2x＋ （1）求f(x)的最大值及取得最大值时x的值； （2）若方程f(x)＝ 在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值． 【答案】（1）x＝ π＋kπ(k∈Z)，最大值为1；（2） . 19. 设 ， 是 上偶函数. （1）求 的值； （2）判断 在 上是增函数还是减函数，并证明你结论. 【答案】（1） ；（2）增函数，证明见解析. 20. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为 ，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为 ，则第 次改良后所排放的废气中的污染物数量 可由函数模型 给出，其中 是指改良工艺的次数. （1）试求改良后 的函数模型； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 .试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取 ） 【答案】（1） ；（2）6. 21. 已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期； （2）将函数 图象向右平移 个单位长度，再向下平移 （ ）个单位长度后得到函数 的图象，且函数 的最大