6.2.4 第四课时 向量的数量积-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】（人教A版2019第二册）

6.2.4第四课时向量的数量积【课时分层练】 2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】 一、单选题 1．若平面向量与满足：则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用公式进行求解即可. 【详解】 ，解得，. 故选：C. 【点睛】 本题考查形如向量模长的求法，主要根据进行求解，这也是高考中常考点. 2．如图，，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】 利用向量加法的三角形法则以及数乘运算可得，再根据向量数量积的定义即可求解. 【详解】 由， 所以 . 故选：C 3．设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】 因为，故即， 因为，是两个不共线向量，故与的夹角为锐角. 故“与的夹角为锐角”是“”的必要条件. 若与的夹角为，且，故， 所以，故即不垂直. “与的夹角为锐角”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先由，解得，再利用数量积公式求向量夹角的余弦值即可. 【详解】 向量满足，则，即， 故，即，向量夹角为， 则. 故选：A. 5．设为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先根据得，再根据向量模的公式计算即可得答案. 【详解】 因为为单位向量，且，所以，所以，解得， 所以. 故选：B. 6．对于任意两个向量和，下列命题正确的是（ ） A．若，满足，且与同向，则 B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C. 【详解】 A.向量不能比较大小，所以A不正确； B.根据向量减法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与反向时，等号成立，不B正确； C.，故C不正确； D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确. 故选：B 7．如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则的值为（ ） A．12 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】 设圆C的半径为r，，则，然后可得答案. 【详解】 设圆C的半径为r，，则， ∴. 故选：B 二、多选题 8．下列说法正确的有（ ） A． B． C．若，则 D．若与是单位向量，则 【答案】AC 【分析】 由向量的数量积运算法则可判断A；由向量数量积的定义可判断B；根据向量数量积的运算法则可判断C；举反例，如果两个向量垂直，则数量积为0，可判断D. 【详解】 ，满足向量的数量积运算法则，故A正确； ，所以B不正确； 若，则，即，所以，则，所以C正确； 若与是单位向量，如果两个向量垂直，则数量积为0，所以判断为，D不正确； 故选：AC. 三、填空题 9．已知向量，的夹角为，，，则___________. 【答案】1 【分析】 由，化简得到，即可求解. 【详解】 由题意，向量，的夹角为，，， 可得， 即，解得. 故答案为：1. 10．已知向量，的夹角为120°，，，则在方向上的投影为___________. 【答案】 【分析】 根据向量的投影公式计算即可. 【详解】 解：因为向量在方向上的投影为， 所以在方向上的投影为. 故答案为： 【点睛】 方法点睛：向量在方向上的投影为. 11．设向量，满足，，，则___________. 【答案】1 【分析】 对进行平方计算利用已知可得答案. 【详解】 由得，， 因为，，所以， 所以 。 故答案为：1. 【点睛】 方法点睛：本题考查了向量模长的计算，对于有关计算，往往进行平方计算，有时还需要再开方，考查了向量的基本运算. 12．在直角边长为3的等腰直角中，E、F为斜边上的两个不同的三等分点，则______. 【答案】4 【分析】 以为基底表示出，，再根据为等腰直角三角形，即可求出. 【详解】 解：设是接近的一个三等分点， 则， ， 又， 故答案为：. 四、解答题 13．已知，且向量与的夹角为，求和； 【答案】1；6 【分析】 直接利用平面向量数量积的定义与运算法则、性质求解即可. 【详解】 由向量满足，，且与的夹角为， 可得， ， . 14．己知，的夹角为， （1）求的值;（2）求与夹角. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据条件及数量积公式，可求得的值，且，见模平方，即可求得的值，即可得答案； （2）分别求得，的值，再利用数量积公式，求得的值，代入夹角公式，即可求得答案. 【详解】 （1） 由题意得，， ∴， ∴ （2），∴ 又，∴ 又， ∴，