第6章 三角（章节压轴题专练）-2020-2021学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

第6章 三角章节压轴题专练 一、单选题 1．（2019·上海市实验学校高一期末）函数，当时函数取得最大值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换的公式化简得，其中，再根据题意，得到，求得，结合诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，根据三角恒等变换的公式，可得， 其中， 因为当时函数取得最大值，即，即， 可得，即， 所以.故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理利用三角函数的诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高一月考）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 【答案】D 【分析】先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求 【详解】 由题 即，由正弦定理及余弦定理得 即 故 整理得 ，故 故为顶角为的等腰三角形，故选D 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 二、填空题 3．（2020·上海高一课时练习）若，且，则实数t的取值范围是_________． 【答案】 【分析】参变分离得，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系得，再根据及正切函数的性质计算可得； 【详解】解：因为， 所以，即 因为，所以，所以， (因为，即，解得 因为，所以) 所以，所以，故答案为： 【点睛】本题考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题. 4．（2020·上海高一课时练习）等腰三角形顶角的正弦为，则底角的余切为_________． 【答案】或2 【分析】设出顶角为，根据三角形的内角和定理表示出底角，由题意得到的值，由为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，表示出底角的余弦值和正弦值，即可求出底角的余切值. 【详解】设顶角为，则底角为，∴， 又为三角形的内角，∴， 当时，， ， ； 当时，， ， ；故答案为：或2. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，等腰三角形的性质，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题. 5．（2020·上海高一课时练习）集合的子集的个数是__________． 【答案】8 【分析】根据正弦函数分别给k在一个周期内的值，并求出对应的x值，即求出集合A，再由集合A中元素的个数求出它的子集的个数． 【详解】由题意的周期为6，,令k分别为0、1、2、3、4、5、6， ∴x＝sin的值对应为：0、，，0，，，0， 根据正弦函数的周期性知，A＝{，0，}， 故它的子集的个数是23＝8个，故答案为：8． 【点睛】本题考查了正弦函数的周期性和特殊角的正弦值，以及集合的子集个数的确定，主要利用结论：若集合中元素的个数是n，则它的子集个数是2n个． 6．（2020·上海高一课时练习）角的终边经过点，且，则_______________． 【答案】 【分析】利用和差公式得到，再利用三角函数定义得到答案. 【详解】，解得，故，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7．（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___ 【答案】 【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值． 【详解】如图，设，则, 在和中，分别由余弦定理可得， 两式相加，整理得，∴．① 由及正弦定理得， 整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以． 把①代入②整理得， 又，当且仅当时等号成立，所以，故得． 所以．即面积的最大值是． 故答案为． 【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力． 三、解答题 8．（2018·上海市七宝中学高一期中）在中，角所对边分别为，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由切化弦，结合二倍角公式整理可得；由同角三角函数关系求得，知，得到为锐角，从而得到；根据，利用两角和差正弦公式求得结果； （2）利用正弦定理求得，根据三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1），解得： ， 为锐角 （2）由正弦定理得： 的面积 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到三角恒等