专题09（圆锥曲线中的轨迹问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题九 圆锥曲线中的轨迹问题 圆锥曲线中的轨迹问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 1.直击高考 例题1.（2019全国Ⅰ，21题）已知点A，B关于坐标原点O对称，，过点A，B且与直线相切． 若A在直线上，求的半径； 是否存在定点P，使得当A运动时，为定值？并说明理由． 【分析】 本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了曲线轨迹方程的求法，属于难题． 由条件知点M在线段AB的中垂线上，设圆的方程为的方程为，然后根据圆与直线相切和圆心到直线的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可； 设M的坐标为，然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为，根据抛物线的定义即可得到定点． 思维升华 此类问题常考察圆锥曲线的的方程及其性质，直线方程的几种形式，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式等。该类问题的解题思路是“联立方程消元”、“点差法”、“设而不求”、“判别式法”等。在解题过程中要根据题目灵活选择方法。 【答案】解：过点A，B且A在直线上， 点M在线段AB的中垂线上， 设的方程为：，则 圆心到直线的距离， 又，在中， ， 即 又与相切， 由解得或 的半径为2或6； 存在点p，使得当A运动时，为定值， 理由如下：线段AB为的一条弦，圆心M在线段AB的中垂线上， 设点M的坐标为，则， 与直线相切，， ， ， 的轨迹是以为焦点为准线的抛物线， ， 当为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为， 存在定点使得当A运动时，为定值． 例2.（2019全国Ⅱ，19题）已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C． 求C的方程，并说明C是什么曲线； 过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G． 证明：是直角三角形； 求面积的最大值． 【答案】解：由题意得， 整理得曲线C的方程：， 曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆； 设，则， ，， 直线QE的方程为：， 与联立消去y， 得， ， ， ， ， 把代入上式， 得， ， ，故为直角三角形； 令，则， 利用“对勾”函数在的单调性可知， 时取等号， 此时， 故面积的最大值为． 【解析】此题考查了直接