专题06（与圆相关的定值、定点问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题六 与圆相关的定值、定点问题 圆的综合问题还可能会考查与圆有关的定点、定值问题，这类问题的解决往往先从特殊情况入手，探究出相应的定点、定值。当然，解题时要结合圆的几何性质，利用几何知识能使问题较为简捷地得到解决。 1.直击高考 例题1.（2017全国，20题）在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为当m变化时，解答下列问题： 能否出现的情况？说明理由． 证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 【分析】 本题考查圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题． 设曲线与x轴交于，，运用韦达定理，再假设，运用直线的斜率之积为，即可判断是否存在这样的情况； 设过A、B、C三点的圆的方程为，由题意可得，，代入，可得，再令，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值． 思维升华 从特殊情况入手，探究出相应的定点、定值。当然，解题时要结合圆的几何性质，利用几何知识能使问题较为简捷地得到解决。 【答案】解：曲线与x轴交于A、B两点， 可设，， 由韦达定理可得， 若，则， 即有， 即为这与矛盾， 故不出现的情况； 证明：设过A、B、C三点的圆的方程为， 由题意可得时，与等价， 可得，， 圆的方程即为， 由圆过，可得，可得， 则圆的方程即为， 再令，可得， 解得或． 即有圆与y轴的交点为，， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3． 例2.（2020全国，6题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若，则点C的轨迹为 A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 【答案】A 【解析】解：在平面内，A，B是两个定点，C是动点， 不妨设，，设， 因为， 所以， 解得， 所以点C的轨迹为圆． 故选：A． 设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可． 本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力． 例3（2020全国，20题）已知抛物线C：经过点． Ⅰ求抛物线C的方程及其准线方程； Ⅱ设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 【答案】解：Ⅰ抛物线C：经过点可得，即， 可得抛物线C的方程为，准线方程为； Ⅱ证明：抛物线的焦点为，