第5讲 解三角形（练习）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第5讲 解三角形（练习） 夯实基础 一、单选题 1．（2019·上海市张堰中学高一月考）在中，若，则是（ ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理，结合已知可得，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状． 【详解】在中， ，又由正弦定理得：， ，，或， 或．故是等腰三角形或直角三角形，故选D． 【点睛】本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 2．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）已知△ABC中,b=B=60°,若此三角形有两解,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理（为的外接圆的半径），做出三角形两解的示意图，得出两解的条件，解之可得的范围. 【详解】做出示意图如下图所示：做于，则， 要使△ABC有两解,则需，因为b=B=60°,所以解得， 故选：B. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理的应用：三角形的解的问题，关键在于做出示意图，得出两解所满足的条件，属于基础题. 3．（2019·上海市向明中学高一期中）在锐角中，角所对的边长分别为，若且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正弦定理可得，再结合为锐角三角形可得，代入求解即可. 【详解】解：因为且，由正弦定理可得：， 则，又为锐角三角形， 则 ，解得：，即，即， 故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题. 4．（2019·上海虹口区·上外附中高一期末）已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能 【答案】B 【分析】由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形. 【详解】由正弦定理，， 可得,化简得， 由余弦定理可得：，又， 为钝角，即三角形为钝角三角形.故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题. 二、填空题 5．（2020·上海浦东新区·高一期中）在△中，若，，，则________ 【答案】 【分析】利用正弦定理可直接求得结果. 【详解】由正弦定理得：.故答案为：. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题. 6．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则是________三角形. 【答案】等腰 【分析】利用代入条件化简即可得解. 【详解】在中，， 又，可得，有：， 所以，即是等腰三角形.故答案为：等腰. 【点睛】本题主要考查了三角形中内角和为，及两角和的正弦展开，属于基础题. 7．（2020·上海高一课时练习）若船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，则_________. 【答案】95° 【分析】根据方位角的概念求解即可. 【详解】因为船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处， 所以故答案为：95° 【点睛】本题考查方位角的概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．（2020·上海浦东新区·高一期中）某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为________千米（结果保留两位有效数字） 【答案】 【分析】根据方位角和余弦定理可构造方程求得结果. 【详解】设该高一学生最初的位置为，骑行后千米后停留的位置为，塔的位置为，作，垂足为，如下图所示： 由题意可知：，，， 且，， 即，解得：（千米）.故答案为：. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，涉及到余弦定理和方位角的知识，属于基础题. 9．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则的形状是_________. 【答案】等腰三角形 【分析】根据余弦定理，由题意，先得到，化简整理，得到，进而可得出结果. 【详解】因为，由余弦定理得：， 即，即 即，即， 因为三角形中，两边之和大于第三边，所以，即， 故是等腰三角形.故答案为：等腰三角形. 【点睛】本题主要考查由余弦定理判定三角形形状，属于基础题型. 10．（2020·上海高一课时练习）山上有一塔，高，自山下地面某点测得塔顶仰角为75°，测得塔底仰角为45°，则山高_______. 【答案】 【分析】先设山下地面某点到山底距离为m，再根据条件