第5讲 解三角形（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第5讲 解三角形解三角形 知识梳理 设中分别是角所对的边，为的外接圆半径，为内切圆半径，为的面积． 三角形内角和定理：． 正弦定理：． 余弦定理：． 三角形面积公式： 例题解析 一、利用正余弦定理求解三角形 【例1】在中，角的对边为，若，则角（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【例2】在中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【难度】★ 【答案】C 【解析】由及正弦定理，得=，所以.因而有两值. 【例3】在锐角中，边长，则边长c的取值范围是_______. 【难度】★★ 【答案】 【解析】若是最大边，则，∴＞0，∴c＜.又， ∴ 【例4】（1）在中，已知，，，求b及A； （2）在中，已知，，，解三角形 【难度】★★ 【答案】（1），；（2），， 【解析】（1）∵ ∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 方法一：∵cos ∴ 方法二：∵sin 又∵＜∴＜，即＜＜∴ （2）由余弦定理的推论得： ； ； 【例5】在中，角所对的边分别为，已知， （1）求的值；（2）求的值． 【难度】★ 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由余弦定理，，得， ． （2）方法1：由余弦定理，得，， ∵是的内角，∴． 方法2：∵，且是的内角，∴． 根据正弦定理，，得 【例6】在，求（1）；（2）若点 【难度】★★ 【答案】（1）；（2） 【解析】：（1）由， ， 由正弦定理知， （2），。由余弦定理知： 【例7】在中，为角所对的三边，已知． （1）求角的值；（2）若，，求的长. 【难度】★★ 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） ， （2）在中，， ， 由正弦定理知：. 【巩固训练】 1.在中，若则的值为（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】A 2．在中，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 【解析】或 3．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】B 【解析】 设中间角为，则为所求 4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 5.已知在中，，是上一点，则点到的距离乘积的最大值是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【难度】★★ 【答案】B 6.中，若，则的外接圆半径为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】A 7.在中，若，，，则（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【难度】★★ 【答案】C 8.在三角形中，“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不是 【难度】★★ 【答案】C 二、正、余弦定理判断三角形形状 【例8】在中，，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【难度】★★ 【答案】C 【解析】为钝角 【例9】在中，若，则的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【难度】★★ 【答案】C 【解析】方法一： 又∵，∴∴ 方法二：由得，∴ 【例10】的三边分别为且满足,则此三角形是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【难度】★ 【答案】D 【例11】如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形， 若是锐角三角形，由，得， 那么，，矛盾，所以是钝角三角形。故选D。 【例12】在中，若则的形状是什么？ 【难度】★★ 【答案】直角三角形 【解析】 或，得或，所以△ABC是直角三角形。 【例13】在中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状 【难度】★★ 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】方法一：由已知得 所以 由正弦定理，得 所以 所以 即等腰三角形或直角三角形 方法二：同方法一可得，由正、余弦定理，即得 所以等腰三角形或直角三角形 【例14】给出问题：已知中，满足，试判定的形状．某学生的解答如下：由条件可得，去分母整理可得，，故是直角三角形．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面的横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上： ． 【难度】★★ 【答案】不正确；等腰三角形或直角三角形 【例15】中，，且，判断的形状． 【难度】★★ 【答案】