专题10：排列组合解题方法及典型例题-【上课小助手】2020-2021学年高二数学同步备课（人教A版2019选择性必修第三册）

- 1 - 专题10：排列组合解题方法及典型例题（解析版） 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数 1．核糖核酸( )分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有 种不同的碱基，分别用 、 、 、 表示.在一个 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类 分子由 个碱基组成，那么能有多少种不同的 分子？ 【答案】有 种不同的 分子. 【分析】 分100步完成，完成每步都是 种，再利用分步计数原理计算可得结果. 【详解】 个碱基组成的长链共有 个位置， 从左到右依次在每一个位置中，从 、 、 、 中任选一个填入， 每个位置有 种填充方法， 根据分步乘法计数原理，长度为 的所有可能的不同 分子数目有 个. 2．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有多少种？ 【答案】64 【分析】 完成这个工作是每一个学科必须有一个冠军，可以是相同的人得不同的冠军，所以对冠军有限制对学生没有限制，每一个冠军有4种选择，由分步乘法计数原理可求. 【详解】 举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步. 第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况； 第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况； 第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况； 由分步乘法计数原理知，共有 种不同的冠军获得情况. 【点睛】 易错点睛：研究完成的这件事是什么？是冠军选人而不是人选冠军，所以要把每一个冠军都选上人即可. 3．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. 把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？ 【答案】 【分析】 将信封投入邮筒，是分步问题，每封信都有4种不同的方法，由分步乘法计数原理计算可得答案 【详解】 第一封信投入邮筒有4种可能 第二封信投入邮筒有4种可能 第九封信投入邮筒有4种可能 由分步乘法计数原理可知，共有 种不同的投法 【点睛】 本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，这是解题的关键. 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 4．若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】 使用捆绑法，然后进行排列，简单计算可得结果. 【详解】 由题可知：甲、乙两人必须相邻，使用捆绑法，看作一个整体， 则所求的不同排法数为 故选：B 【点睛】 本题考查相邻问题的排列，简单计算，属基础题. 5．5个男同学和4个女同学站成一排，4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？ 【答案】（1） 【分析】 捆绑法求解即可； 【详解】 （1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体， 可得排法为 ； 6．有5名同学站成一排拍照． 若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？ 【分析】利用捆绑法求得方法数. 【详解】 （1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有 种. 7．有5名男生，4名女生排成一排．女生必须相邻，有多少种排法？ 【分析】 把4名女生看成一个整体与5名男生排列，再将4名女生全排即可得出结果； 【详解】 （1）把4名女生看成一个整体与5名男生排列，有 种方法，再4名女生全排有 种排法，则不同的排法共有 ． 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 8．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ） A．800 B．5400 C．4320 D．3600 【答案】D 【解析】 先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有 种排法，再从5个节目的6隔空插入两个不同的舞蹈节目有 种排法，∴共有 种排法，故选D 9．甲、乙等4人排成一列，则甲乙两人不相邻的排法