6.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-【上课小助手】2020-2021学年高二数学同步备课（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 45 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 一般地，对于n ∈ N*有 二项定理: 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 对称性 n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 《详解九章算法》中记载的表 杨 辉 杨辉三角 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? ①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + + + + + + + + + + + 1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… …… 展开式中的二项式系数，如下表所示： 表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。 上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点． （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 图象的对称轴： 这一性质可直接由公式 得到． （2）增减性与最大值 由于： 由： 二项式系数